Clase 17 · La integral de la inversa

Formulario · para regresar rápido

Las fórmulas del taller, a la mano

La fórmula de la inversa y sus tres resultados, las derivadas y los rangos de las inversas trigonométricas, la sustitución $x = a\operatorname{sen}\theta$ con su primitiva, el cazuelazo, la sustitución $u = x^{r}$ y la fórmula de reducción de $\int\tan^{n}$.

La integral de la inversa (Lab 9, 2(a))

$$\int f^{-1}(x)\,dx = x\,f^{-1}(x) - \int f(y)\,dy$$ $$y = f^{-1}(x) \Longleftrightarrow x = f(y)$$

Por partes con $u = f^{-1}(x)$, $dv = dx$, y $x\,(f^{-1})^{\prime}dx = f(y)\,dy$. Al final, regresar de $y$ a $x$.

Tres resultados con la fórmula

$$\int\tan^{-1}x\,dx = x\tan^{-1}x - \ln\sqrt{x^{2}+1} + C$$ $$\int\cos^{-1}x\,dx = x\cos^{-1}x - \sqrt{1-x^{2}} + C$$ $$\int\log_{2}x\,dx = \frac{x\ln x - x}{\ln 2} + C$$

Formas equivalentes: $-\ln|\sec(\tan^{-1}x)|$, $-\operatorname{sen}(\cos^{-1}x)$.

Por partes con dv = dx (Lab 10, ej. 1)

$$\int\tan^{-1}\sqrt{x}\,dx = x\tan^{-1}\sqrt{x}$$ $$\quad + \tan^{-1}\sqrt{x} - \sqrt{x} + C$$ $$\int\frac{\sqrt{x}}{x+1}\,dx = 2\sqrt{x} - 2\tan^{-1}\sqrt{x} + C$$

$du = \frac{dx}{2(x+1)\sqrt{x}}$, $v = x$; la auxiliar con $u = \sqrt{x}$, $dx = 2u\,du$.

Inversas trigonométricas: derivadas y rangos

$$(\operatorname{sen}^{-1}x)^{\prime} = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},\ \ \operatorname{sen}^{-1} \in \Big[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\Big]$$ $$(\cos^{-1}x)^{\prime} = \frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}},\ \ \cos^{-1} \in [0, \pi]$$ $$(\tan^{-1}x)^{\prime} = \frac{1}{1+x^{2}},\ \ \tan^{-1} \in \Big(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\Big)$$

$\operatorname{sen}^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{2}$ (no $\frac{3\pi}{2}$); $\tan^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4}$; $\operatorname{sen}(\cos^{-1}x) = +\sqrt{1-x^{2}}$.

Sustitución en definidas (Lab 10, ej. 2)

$$\int_1^{a}\frac{f^{\prime}(x)}{1+f(x)^{2}}\,dx = \tan^{-1}\big(f(x)\big)\Big|_1^{a}$$ $$f(x) = \frac{x-3}{2x}:\ \tan^{-1}\frac{a-3}{2a} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$$ $$\Longrightarrow\ a = 3$$

Con $u = f(x)$ los límites pasan a $f(1) = -1$ y $f(a)$. Despejar = componer con la inversa.

x = a sen θ (Lab 10, ej. 3)

$$\sqrt{a^{2}-x^{2}} = a\cos\theta,\quad dx = a\cos\theta\,d\theta$$ $$\cos^{2}\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2},\quad \operatorname{sen}2\theta = 2\operatorname{sen}\theta\cos\theta$$ $$\int\sqrt{a^{2}-x^{2}}\,dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}}$$ $$\quad + \frac{a^{2}}{2}\operatorname{sen}^{-1}\frac{x}{a} + C$$ $$\int_{-a}^{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\,dx = \frac{\pi a^{2}}{2}$$

$a \gt 0$ ($\sqrt{a^{2}} = a$). Comprobar una primitiva = derivarla. La definida es medio círculo.

Ejercicio 4 · 4(a) y 4(b)

$$\int\sqrt{1-x^{2}}\,dx = \tfrac12 x\sqrt{1-x^{2}} + \tfrac12\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$$ $$\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}} = \operatorname{sen}^{-1}x + C$$

4(a): $u = \sqrt{1-x^{2}}$, $dv = dx$, y $x^{2} = 1 - (1-x^{2})$. 4(b): $x = \operatorname{sen}\theta$ ⟹ $\int d\theta$.

Cofunciones y el cazuelazo

$$\operatorname{sen}\Big(\frac{\pi}{2}-x\Big) = \cos x,\quad \cos\Big(\frac{\pi}{2}-x\Big) = \operatorname{sen}x$$ $$\operatorname{sen}\Big(x - \frac{\pi}{2}\Big) = -\cos x$$ $$I = \int_0^{\pi/2}\frac{\operatorname{sen}^{n}x}{\operatorname{sen}^{n}x+\cos^{n}x}\,dx = \frac{\pi}{4}$$

$x = \frac{\pi}{2} - u$ da $I = J$ (con $\cos^{n}$ arriba); $I + J = \int_0^{\pi/2}1 = \frac{\pi}{2}$.

u = xʳ (Lab 11, ej. 2)

$$\int\frac{dx}{x - x^{r+1}} = \frac1r\int\frac{du}{u(1-u)}$$ $$= \ln|x| - \frac1r\ln|1 - x^{r}| + C$$

$\frac{dx}{x} = \frac{x^{r-1}dx}{x^{r}} = \frac{du}{r\,u}$: la $u$ queda abajo. $\frac{1}{u(1-u)} = \frac1u + \frac{1}{1-u}$.

Reducción de ∫tanⁿ (Lab 9, p. 3)

$$\int\tan x\,dx = \ln|\sec x| + C$$ $$\int\tan^{n}x\,dx = \frac{\tan^{n-1}x}{n-1} - \int\tan^{n-2}x\,dx$$ $$\int\tan^{4}x\,dx = \frac{\tan^{3}x}{3} - \tan x + x + C$$

$\tan^{n} = \tan^{n-2}(\sec^{2} - 1)$ y $u = \tan x$. Por partes ($u = \tan^{n-2}$, $v = \tan x - x$) también sale, con una segunda vuelta.

El mapa de la sesión · ejercicio por ejercicio

Tres laboratorios, de principio a fin

📖 Para profundizar → Thomas §8.1 · Integración de funciones inversas: la fórmula (4), ∫cos⁻¹x, ejercicios 66–72 p. 443 📖 Para profundizar → Thomas §8.3 · Sustituciones trigonométricas: x = a sen θ para √(a² − x²) p. 449 📖 Para profundizar → Thomas §8.2 · Ejemplos 4 y 5: cos² con el ángulo doble, ∫tan⁴x p. 446 📖 Para profundizar → Thomas §7.6 · Tablas 7.3 y 7.4: derivadas e integrales con inversas trigonométricas p. 411 🧪 Laboratorio 9 · Integración por partes (ej. 2 y problema 3) 🧪 Laboratorio 10 · Integración por sustitución trigonométrica (ej. 1–4 y cazuelazo) 🧪 Laboratorio 11 · Integración por fracciones parciales (ej. 2)

Cada ejercicio es un hilo (una o varias partes de la clase interactiva):

Lab 10, ej. 1 · $\int\tan^{-1}\sqrt{x}\,dx$ (Parte 1, ya en el pizarrón al entrar). Por partes con $u = \tan^{-1}\sqrt{x}$, $dv = dx$: $du = \frac{dx}{2(x+1)\sqrt{x}}$ («faltó la derivada de lo de adentro»), $v = x$. Queda $-\tfrac12\int\frac{\sqrt{x}}{x+1}dx$, la integral del primer parcial: $u = \sqrt{x}$, sumar y restar 1. $$\int\tan^{-1}\sqrt{x}\,dx = x\tan^{-1}\sqrt{x}$$ $$\quad + \tan^{-1}\sqrt{x} - \sqrt{x} + C$$
Lab 9, 2(a) · la fórmula de la inversa (Parte 2, demostración). «Método alternativo»: $y = f^{-1}(x) \Longleftrightarrow x = f(y)$; por partes, $\int f^{-1} = x f^{-1} - \int x\,(f^{-1})^{\prime}dx$, y como $dy = (f^{-1})^{\prime}dx$, la última integral es $\int f(y)\,dy$. «Anótenlo tal cual, como una fórmula.»
$\int\tan^{-1}x\,dx$ con la fórmula (Partes 3–4). $x\tan^{-1}x - \int\tan y\,dy$; $\int\tan y\,dy = -\ln|\cos y| = \ln|\sec y|$ ($u = \cos y$). De regreso a $x$, dos maneras: sustituir $y = \tan^{-1}x$, o el triángulo (opuesto $x$, adyacente 1): $\sec y = \sqrt{x^{2}+1}$. $$= x\tan^{-1}x - \ln\sqrt{x^{2}+1} + C$$
Lab 9, 2(b) · $\cos^{-1}$ y $\log_2$ (Partes 5–6). $x\cos^{-1}x - \int\cos y\,dy = x\cos^{-1}x - \operatorname{sen}y$; triángulo (hipotenusa 1, adyacente $x$) y el rango $[0, \pi]$: $\operatorname{sen}y = +\sqrt{1-x^{2}}$; se comprueba derivando. $\log_2 x = \ln x/\ln 2$ e $y = \ln x \Leftrightarrow x = e^{y}$: $$\int\log_{2}x\,dx = \frac{1}{\ln 2}\big(x\ln x - x\big) + C$$ — la misma que la Clase 13 obtuvo por partes directo.
Lab 10, ej. 2 · el valor de $a$ (Parte 7). $u = f(x)$: $\int_{-1}^{f(a)}\frac{du}{1+u^{2}} = \tan^{-1}\frac{a-3}{2a} + \frac{\pi}{4}$. Un primer «$\pi/2$» imposible delata un signo; con él bien, $\tan^{-1}\frac{a-3}{2a} = 0$ y, componiendo con la tangente, $a = 3$ (única: $\tan^{-1}$ es inyectiva).
Lab 10, ej. 3 · la primitiva de $\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ (Partes 8–10). (a) comprobarla: derivar $g$, con $\sqrt{a^{2}} = a$ porque $a \gt 0$: $g^{\prime} = \frac{2a^{2}-2x^{2}}{2\sqrt{a^{2}-x^{2}}}$ $= \sqrt{a^{2}-x^{2}}$. Construirla: $x = a\operatorname{sen}\theta$, $a^{2}\int\cos^{2}\theta$ $= \frac{a^{2}}{2}[\theta + \frac{\operatorname{sen}2\theta}{2}]$, triángulo (la voz recupera un $\tfrac12$ que el pizarrón se saltó). (b) evaluar: $$\int_{-a}^{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\,dx$$ $$= \frac{a^{2}}{2}\cdot\frac{\pi}{2} - \frac{a^{2}}{2}\Big(-\frac{\pi}{2}\Big)$$ $$= \frac{\pi a^{2}}{2}$$ — medio círculo de radio $a$.
Lab 10, ej. 4 (Parte 11). (a) solo comentado: por partes, «si les queda otra fórmula también puede ser válida». (b) $x = \operatorname{sen}\theta$ ⟹ $\int d\theta = \operatorname{sen}^{-1}x + C$: «esto ya lo deberían haber sabido: la derivada del arco seno».
Lab 10, cazuelazo (Parte 12). La sugerencia: cofunciones. Un primer intento con $x = u - \frac{\pi}{2}$ (límites $[\frac{\pi}{2}, \pi]$, y una identidad $\operatorname{sen}(x - \frac{\pi}{2}) = \cos x$ que en realidad es $-\cos x$); la idea — $I = J$, $I + J = \frac{\pi}{2}$ —, y la sustitución que la cierra, $u = \frac{\pi}{2} - x$, «también se cambia el signo».
Lab 11, ej. 2 (Parte 13). $u = x^{r}$, $x - x^{r+1} = x(1-u)$, $\frac{dx}{x} = \frac{du}{r\,u}$. En el pizarrón la $u$ quedó arriba ($\frac1r\int\frac{u\,du}{1-u}$) y «ya ahí está un caminito». En limpio: $$\frac1r\int\frac{du}{u(1-u)}$$ $$= \ln|x| - \frac1r\ln|1-x^{r}| + C$$
Lab 9, problema 3 · $\int\tan^{n}x$ (Parte 14, cierra el pendiente de la Clase 13). «Calculen esto como $\int\tan^{n-2}x\tan^{2}x\,dx$»: por partes con $u = \tan^{n-2}x$, $v = \tan x - x$ (el $du$ correcto lleva $\tan^{n-3}$); con una segunda vuelta por partes las $x$ se cancelan. O en una línea con $\tan^{2} = \sec^{2} - 1$: $$\int\tan^{n}x\,dx$$ $$= \frac{\tan^{n-1}x}{n-1} - \int\tan^{n-2}x\,dx$$

Laboratorios interactivos

La fórmula de la inversa, en vivo

Elige la inversa y el extremo $b$. El área bajo $y = f^{-1}(x)$ (azul) más el área entre la curva y el eje $y$ — la integral de la función original, $\int f(y)\,dy$ (ámbar) — llenan el rectángulo $b\cdot f^{-1}(b)$. Eso es la fórmula, con límites: $\int_{x_0}^{b}f^{-1} = b\,f^{-1}(b) - \int_0^{f^{-1}(b)}f(y)\,dy$ (aquí $f^{-1}(x_0) = 0$).

f⁻¹ = b = 2.00

∫ f⁻¹ (Simpson, azul)

—

∫ f(y) dy de 0 a f⁻¹(b) (ámbar)

—

b·f⁻¹(b) (rectángulo)

—

azul + ámbar − rectángulo

—

El valor de a, en vivo

Laboratorio 10, ejercicio 2: mueve $a$. La integral $I(a) = \int_1^{a}\frac{f^{\prime}}{1+f^{2}}\,dx$ con $f(x) = \frac{x-3}{2x}$ se calcula numéricamente y se compara con la fórmula $\tan^{-1}f(a) - \tan^{-1}(-1)$. Solo en $a = 3$ vale $\pi/4$ — y nunca llega a $\pi/2$.

a = 2.00

I(a) numérica

—

tan⁻¹ f(a) + π/4

—

π/4 ≈ 0.785398

—

¿I(a) = π/4?

—

El cazuelazo, en vivo

Mueve $n$. La curva $f_n(x) = \frac{\operatorname{sen}^{n}x}{\operatorname{sen}^{n}x+\cos^{n}x}$ (azul) y su gemela $f_n(\frac{\pi}{2} - x)$, que es la de $\cos^{n}$ arriba (ámbar), suman $1$ en cada punto: sus áreas son iguales y juntas llenan el rectángulo $\frac{\pi}{2}\times 1$. Cambia $n$ cuanto quieras: el área azul no se mueve de $\pi/4$.

n = 3

I = ∫ f_n (Simpson)

—

J = ∫ f_n(π/2 − x)

—

I + J (debe ser π/2 ≈ 1.570796)

—

I − π/4

—

Lo que se resolvió · y dónde se tropieza

Los ejercicios, uno a uno

Cada resultado verificado en sympy, con el paso que más cuesta. Los enunciados son los de los Laboratorios 9, 10 y 11.

Lab 10, ej. 1 · $\int\tan^{-1}\sqrt{x}\,dx$

$$= x\tan^{-1}\sqrt{x} - \tfrac12\int\frac{\sqrt{x}}{x+1}\,dx$$ $$= (x+1)\tan^{-1}\sqrt{x} - \sqrt{x} + C$$

Tropiezos: derivar $\tan^{-1}\sqrt{x}$ sin la cadena (falta $\frac{1}{2\sqrt{x}}$); simplificar $\frac{x}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}$; y en la auxiliar, dejar $dx = 2\sqrt{x}\,du$ en vez de $2u\,du$.

Lab 9, 2(a) · $\int f^{-1}(x)\,dx$

$$= x f^{-1}(x) - \int f(y)\,dy,\quad y = f^{-1}(x)$$

Tropiezos: confundir la inversa con la recíproca; integrar $f^{-1}$ en lugar de $f$ en la segunda integral; y olvidar el regreso a $x$ — el resultado no puede quedar en $y$.

$\int\tan^{-1}x\,dx$ (Thomas, ej. 68 y 72)

$$= x\tan^{-1}x - \ln|\sec y| + C,\ y = \tan^{-1}x$$ $$= x\tan^{-1}x - \tfrac12\ln(x^{2}+1) + C$$

Tropiezo: perderse entre tres variables — $x$, $y$ y la $u = \cos y$ auxiliar. Se regresa de $y$ a $x$ con la relación principal $x = \tan y$, no con la $u$.

Lab 9, 2(b)(i) · $\int\cos^{-1}x\,dx$

$$= x\cos^{-1}x - \operatorname{sen}(\cos^{-1}x) + C$$ $$= x\cos^{-1}x - \sqrt{1-x^{2}} + C$$

Tropiezo: el signo de la raíz. $\cos^{-1}x \in [0, \pi]$, donde el seno no es negativo: $+\sqrt{1-x^{2}}$ también para $x \lt 0$.

Lab 9, 2(b)(ii) · $\int\log_{2}x\,dx$

$$= \frac{1}{\ln 2}\int\ln x\,dx = \frac{x\ln x - x}{\ln 2} + C$$

Tropiezo: tratar $\log_2$ como si fuera $\ln$. Primero el cambio de base; la constante $\frac{1}{\ln 2}$ sale de la integral.

Lab 10, ej. 2 · el valor de $a$

$$\tan^{-1}\frac{a-3}{2a} - \Big(-\frac{\pi}{4}\Big) = \frac{\pi}{4}\ \Longrightarrow\ a = 3$$

Tropiezos: los dos signos menos ($-\tan^{-1}(-1) = +\frac{\pi}{4}$); y «despejar» multiplicando: se compone con la tangente. Un resultado $\tan^{-1}(\ldots) = \frac{\pi}{2}$ es imposible: avisa del error.

Lab 10, ej. 3 · $\sqrt{a^{2}-x^{2}}$

$$g^{\prime}(x) = \frac{2a^{2}-2x^{2}}{2\sqrt{a^{2}-x^{2}}} = \sqrt{a^{2}-x^{2}}$$ $$\int_{-a}^{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\,dx = \frac{\pi a^{2}}{2}$$

Tropiezos: $\sqrt{a^{2}} = |a|$ (por eso $a \gt 0$); perder el $\tfrac12$ de $\frac{\operatorname{sen}2\theta}{2}$ al regresar; y tomar $\operatorname{sen}^{-1}(-1) = \frac{3\pi}{2}$, que daría un área negativa.

Lab 10, ej. 4 · $\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$

$$x = \operatorname{sen}\theta:\ \int\frac{\cos\theta\,d\theta}{\cos\theta} = \theta = \operatorname{sen}^{-1}x + C$$

Tropiezo: no reconocer una integral inmediata: es la derivada del arco seno leída al revés. El valor absoluto $|\cos\theta|$ se resuelve con el rango $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Lab 10, cazuelazo

$$x = \tfrac{\pi}{2} - u:\ I = J$$ $$I + J = \tfrac{\pi}{2}\ \Longrightarrow\ I = \tfrac{\pi}{4}$$

Tropiezos: $\operatorname{sen}(x - \frac{\pi}{2}) = -\cos x$, no $\cos x$; y una traslación $x = u - \frac{\pi}{2}$ corre los límites a $[\frac{\pi}{2}, \pi]$. La reflexión $u = \frac{\pi}{2} - x$ conserva los límites y cambia el signo de $dx$.

Lab 11, ej. 2 · $\int\frac{dx}{x - x^{r+1}}$

$$= \frac1r\int\frac{du}{u(1-u)} = \frac1r\ln\left|\frac{x^{r}}{1-x^{r}}\right| + C$$

Tropiezo (el del pizarrón): multiplicar por $u = x^{r}$ para fabricar $x^{r-1}$ y no dividir entre ella — la $u$ va abajo. Comprobado para $r = 2, 3, \tfrac12, -2, -\tfrac13$.

Lab 9, problema 3 · $\int\tan^{n}x\,dx$

$$= \frac{\tan^{n-1}x}{n-1} - \int\tan^{n-2}x\,dx\quad(n \ge 2)$$

Tropiezos: el $du$ de $\tan^{n-2}x$ es $(n-2)\tan^{n-3}x\sec^{2}x\,dx$ (el pizarrón escribió $\tan^{n-1}$); y con $v = \tan x - x$, no detenerse: una segunda vuelta por partes cancela las $x$.

Lo que queda para el cuaderno

Del Laboratorio 10: el ejercicio 5 completo (diez integrales «con su triángulo»: completar el cuadrado, quitar coeficientes). Del 11: los ejercicios 3 (Weierstrass, $u = \tan\frac x2$) y 4. Del 9: el ejercicio 1, el 4, el 5 (una recurrencia) y el 6.

El hábito de la sesión: comprobar derivando — lo que se afirma como primitiva se deriva; lo que sale de una cuenta, también.

Ponte a prueba

¿Qué tan clara quedó la clase?

1 · Con la fórmula de la inversa, $\displaystyle\int\operatorname{sen}^{-1}x\,dx = x\operatorname{sen}^{-1}x - \int\,?$

2 · Si $y = \cos^{-1}x$, ¿cuánto vale $\operatorname{sen}y$ para $x = -0.6$?

3 · $\operatorname{sen}^{-1}(-1) = \;?$

4 · Para demostrar que $G$ es una primitiva de $f$, lo más directo es…

5 · ¿Cuál de estas identidades es FALSA?

6 · Con $u = x^{r}$, $\displaystyle\int\frac{dx}{x(1-x^{r})}$ se convierte en…

7 · Con la fórmula de reducción, $\displaystyle\int\tan^{4}x\,dx = \;?$

Para tu cuaderno

Practica: las mismas herramientas

1 · $\displaystyle\int\operatorname{sen}^{-1}x\,dx$ con la fórmula de la inversa (Thomas, ej. 67).

$y = \operatorname{sen}^{-1}x \Leftrightarrow x = \operatorname{sen}y$: $\int\operatorname{sen}^{-1}x\,dx = x\operatorname{sen}^{-1}x - \int\operatorname{sen}y\,dy = x\operatorname{sen}^{-1}x + \cos y + C$. Con $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, $\cos y = +\sqrt{1-x^{2}}$.

$$\int\operatorname{sen}^{-1}x\,dx = x\operatorname{sen}^{-1}x + \sqrt{1-x^{2}} + C$$

Verificado en sympy (derivando).

2 · $\displaystyle\int_0^{1}\tan^{-1}x\,dx$ — una definida con la fórmula.

Con la primitiva $x\tan^{-1}x - \tfrac12\ln(x^{2}+1)$: en $1$ vale $\frac{\pi}{4} - \tfrac12\ln 2$; en $0$ vale $0$.

$$\int_0^{1}\tan^{-1}x\,dx = \frac{\pi}{4} - \frac{\ln 2}{2} \approx 0.438825$$

Verificado en sympy. Con áreas: el rectángulo $1\cdot\frac{\pi}{4}$ menos $\int_0^{\pi/4}\tan y\,dy = \ln\sqrt2$.

3 · $\displaystyle\int_0^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx$ — con la primitiva del ejercicio 3.

$a = 2$: $g(x) = \frac{x}{2}\sqrt{4-x^{2}} + 2\operatorname{sen}^{-1}\frac{x}{2}$. $g(2) = 2\cdot\frac{\pi}{2} = \pi$, $g(0) = 0$.

$$\int_0^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx = \pi$$

Un cuarto de círculo de radio 2: $\frac{\pi\cdot 2^{2}}{4} = \pi$. Verificado en sympy.

4 · $\displaystyle\int\tan^{5}x\,dx$ — la fórmula de reducción, dos veces.

$\int\tan^{5} = \frac{\tan^{4}x}{4} - \int\tan^{3}$, y $\int\tan^{3} = \frac{\tan^{2}x}{2} - \int\tan x$ $= \frac{\tan^{2}x}{2} - \ln|\sec x|$.

$$\int\tan^{5}x\,dx = \frac{\tan^{4}x}{4} - \frac{\tan^{2}x}{2}$$ $$\quad + \ln|\sec x| + C$$

Verificado en sympy (derivando).

5 · $\displaystyle\int\frac{dx}{x - x^{4}}$ — el ejercicio 2 del Laboratorio 11 con $r = 3$.

$u = x^{3}$, $\frac{dx}{x} = \frac{du}{3u}$: $\frac13\int\frac{du}{u(1-u)} = \frac13\big(\ln|u| - \ln|1-u|\big)$.

$$\int\frac{dx}{x - x^{4}} = \ln|x| - \tfrac13\ln|1 - x^{3}| + C$$

Verificado en sympy. Reto: hazla con fracciones parciales directas, $x - x^{4} = x(1-x)(1+x+x^{2})$ — aparece un cuadrático irreducible y debe salir lo mismo.

La integral de la inversa

Las fórmulas del taller, a la mano

Tres laboratorios, de principio a fin

La fórmula de la inversa, en vivo

El valor de a, en vivo

El cazuelazo, en vivo

Los ejercicios, uno a uno

Lab 10, ej. 1 · \(\int\tan^{-1}\sqrt{x}\,dx\)

Lab 9, 2(a) · \(\int f^{-1}(x)\,dx\)

\(\int\tan^{-1}x\,dx\) (Thomas, ej. 68 y 72)

Lab 9, 2(b)(i) · \(\int\cos^{-1}x\,dx\)

Lab 9, 2(b)(ii) · \(\int\log_{2}x\,dx\)

Lab 10, ej. 2 · el valor de \(a\)

Lab 10, ej. 3 · \(\sqrt{a^{2}-x^{2}}\)

Lab 10, ej. 4 · \(\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}\)

Lab 10, cazuelazo

Lab 11, ej. 2 · \(\int\frac{dx}{x - x^{r+1}}\)

Lab 9, problema 3 · \(\int\tan^{n}x\,dx\)

Lo que queda para el cuaderno

El pizarrón de la Clase 17

¿Qué tan clara quedó la clase?

Practica: las mismas herramientas

Las clases donde vive cada herramienta

La Clase 18 ya está aquí