Clase 13 · Integración por partes

Formulario · para regresar rápido

Las fórmulas de la clase, a la mano

La fórmula por partes, la regla de quién es u, las tres familias resueltas, la tabla, las identidades y la fórmula de reducción: lo que vas a estar consultando al resolver.

Integración por partes · la fórmula

$$d(uv) = u\,dv + v\,du$$ $$\int u\,dv = u\,v - \int v\,du$$ $$\int_a^b u\,dv = u\,v\,\Big|_a^b - \int_a^b v\,du$$

Objetivo: una integral más sencilla o del mismo orden. Se repite y se combina con sustitución.

Quién es u, quién es dv

$$\ln x \;\to\; u\qquad e^{x},\;\operatorname{sen}x,\;\cos x \;\to\; dv$$ $$x^{n} \;\to\; u\;\;(\text{baja al derivarse})$$ $$du = \frac{du}{dx}\,dx\;\;(\text{no olvidar el } dx)$$ $$v \text{ sin constante}$$

«No lo dice la teoría, lo dice la práctica.»

Potencia por logaritmo

$$\int\ln x\,dx = x\ln x - x + C$$ $$\int x\ln x\,dx = \frac{x^{2}\ln x}{2} - \frac{x^{2}}{4} + C$$ $$\int x^{n}\ln x\,dx =$$ $$\frac{x^{n+1}\ln x}{n+1} - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^{2}} + C$$

Válida para $n \ne -1$; con $n = -1$: $\int\frac{\ln x}{x}dx = \frac{(\ln x)^2}{2} + C$.

Potencia por exponencial

$$\int x\,e^{x}\,dx = x\,e^{x} - e^{x} + C$$ $$\int x^{2}e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} - 2x\,e^{x} + 2e^{x} + C$$ $$\int x^{3}e^{x}\,dx = x^{3}e^{x} - 3x^{2}e^{x}$$ $$\qquad + 6x\,e^{x} - 6e^{x} + C$$ $$\int a^{x}\,dx = \frac{a^{x}}{\ln a} + C$$

El método tabular · cuándo y cómo

$$dv \text{ constante } (e^{x}) \text{ o cíclica } (\operatorname{sen}, \cos)$$ $$u: \text{ derivar hasta } 0\qquad dv: \text{ integrar}$$ $$\text{diagonales: } +,\,-,\,+,\,-\;\ldots$$

«Cambiar el signo que tenga» cada producto — importa cuando la columna dv trae signos (−cos x).

Potencia por seno o coseno (cíclicas)

$$\int x\operatorname{sen}x\,dx = -x\cos x + \operatorname{sen}x + C$$ $$\int x\cos x\,dx = x\operatorname{sen}x + \cos x + C$$ $$\int x^{2}\operatorname{sen}x\,dx = -x^{2}\cos x$$ $$\qquad + 2x\operatorname{sen}x + 2\cos x + C$$

Ciclo: sen → cos → −sen → −cos → sen. Comprobar siempre derivando.

Identidades que hay que saber

$$\cos 2x = \cos^{2}x - \operatorname{sen}^{2}x$$ $$= 2\cos^{2}x - 1 = 1 - 2\operatorname{sen}^{2}x$$ $$\cos^{2}x = \frac{1+\cos 2x}{2}$$ $$\operatorname{sen}^{2}x = \frac{1-\cos 2x}{2}$$ $$\tan^{2}x + 1 = \sec^{2}x$$ $$1 + \cot^{2}x = \csc^{2}x$$

Reducción de tanⁿ · Laboratorio 9, problema 3

$$\int\tan x\,dx = \ln|\sec x| + C$$ $$\int\tan^{n}x\,dx = \frac{\tan^{n-1}x}{n-1}$$ $$\qquad - \int\tan^{n-2}x\,dx\quad(n \ge 2)$$ $$u = \tan x:\;\; dx = \frac{du}{1+u^{2}}$$

Baja el grado de 2 en 2; la demostración quedó abierta — la cierra la Clase 17 (pista: $\tan^n = \tan^{n-2}(\sec^2 - 1)$).

Inversas trigonométricas · integrales

$$\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}} = \operatorname{sen}^{-1}x + C$$ $$\int\frac{dx}{x^{2}+1} = \tan^{-1}x + C$$ $$\int\frac{dx}{|x|\sqrt{x^{2}-1}} = \sec^{-1}x + C$$

Sustituciones trigonométricas · la tabla

$$a^{2}-x^{2}\;\to\; x = a\operatorname{sen}\theta$$ $$x^{2}+a^{2}\;\to\; x = a\tan\theta$$ $$x^{2}-a^{2}\;\to\; x = a\sec\theta$$

Y las de siempre: $\int\sec = \ln|\sec+\tan|$, $\int\csc = -\ln|\csc+\cot|$.

El mapa de la sesión

Del inventario… al método, y al problema abierto

📖 Para profundizar → Thomas §8.1 · Integración por partes p. 436 📖 Para profundizar → Thomas §8.1 · Integración tabular p. 440 📖 Para profundizar → Thomas §8.2 · Potencias de tan x y sec x p. 446 🧪 El enunciado completo → Laboratorio 9 · Integración por partes e integrales trigonométricas 🧪 Para practicar → Laboratorio 10 · Integración por sustitución trigonométrica — por partes y arcsen/arctan ya alcanzan para empezar; la tabla, cuando se construya

Cuatro capítulos:

Antes del método (Partes 1–5). Una reflexión existencialista para abrir el parcial — «la vida se vive en gerundio», el Dasein de Heidegger, enfrentar los problemas — y el objetivo del curso: saber integrar. Inventario de lo que ya sabemos: inmediatas, $\int\sec$ y $\int\csc$, $\operatorname{sen}^2$ y $\cos^2$ por el ángulo doble (deducido de $\cos(x+y)$), la sustitución como regla de la cadena al revés, las integrales de las inversas trigonométricas, la tabla de sustituciones, $\int a^{x} = a^{x}/\ln a$. Y la integral que se resiste: $\int\ln x\,dx$ «con sustitución no se puede».
El método y los logaritmos (Partes 6–9). Derivada vs diferencial; $d(uv) = u\,dv + v\,du$; despejar $u\,dv$; integrar: $\int_a^b u\,dv = uv|_a^b - \int_a^b v\,du$. Regla práctica: logaritmo → $u$. $\int\ln x = x\ln x - x$, $\int x\ln x = \frac{x^2\ln x}{2} - \frac{x^2}{4}$, $\int x^2\ln x = \frac{x^3\ln x}{3} - \frac{x^3}{9}$, y la fórmula general $\int x^n\ln x = \frac{x^{n+1}\ln x}{n+1} - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2}$. Platón y la memoria; qué es una fórmula recursiva.
Exponencial, tabla y cíclicas (Partes 10–15). $e^{x}$ va en $dv$: $\int xe^{x} = e^{x}(x-1)$, luego $x^2$, $x^3$ — el exponente baja, los signos alternan. El método tabular, solo cuando $dv$ tiene derivada constante o cíclica; $\int x^5e^{x}$ en un renglón y la comprobación derivando. Seno y coseno: $\int x\operatorname{sen}x$, $\int x\cos x$, $\int x^2\operatorname{sen}x$ por partes dos veces y por tabla — con un enredo de signos en vivo que el salón detecta.
Laboratorio 9, problema 3 (Partes 16–19). Demostrar $\int\tan^n x\,dx = \frac{\tan^{n-1}x}{n-1} - \int\tan^{n-2}x\,dx$. Caso base $\int\tan x = \ln|\sec x|$; «tangente a la un millón» y Gauss-Jordan en Pemex; tres intentos de $u$ y $dv$ a ensayo y error, la identidad $\tan^2 = \sec^2 - 1$, y la sustitución $u = \tan x$ del salón que deja $\int\frac{u^n}{1+u^2}du$. Queda abierto «para la próxima vez» — aquí, con una pista plegada. Lo cierra la Clase 17, Parte 14.

Laboratorio interactivo · la estrella

La tabla, en vivo

📖 Para profundizar → Thomas §8.1 · Ejemplos 7 y 8 de integración tabular p. 441

$\int x^{n}e^{x}\,dx$. Mueve $n$: la columna $u$ se deriva hasta cero, la columna $dv$ se integra (siempre $e^{x}$), y los productos en diagonal se suman con signos alternados. Abajo, el polinomio resultante — y una comprobación numérica: la integral $\int_0^1 x^{n}e^{x}\,dx$ calculada por Simpson contra la fórmula evaluada de 0 a 1.

n = 3

∫xⁿeˣ dx = eˣ · ( … ) + C

—

fórmula: F(1) − F(0)

—

Simpson: ∫₀¹ xⁿeˣ dx

—

diagonales (vueltas por partes)

—

La antiderivada se dibuja

📖 Para profundizar → Thomas §8.1 · Ejemplo 1: ∫x cos x dx p. 437

Elige una de las tres integrales cíclicas de la clase y mueve $x_0$: se sombrea $\int_0^{x_0} f$ y se compara el área (Simpson) con $F(x_0) - F(0)$, donde $F$ es la antiderivada obtenida por partes. La curva punteada es $F$: sube donde $f \gt 0$, baja donde $f \lt 0$.

f(x) = x₀ = 3.14

F(x) por partes

—

F(x₀) − F(0)

—

Simpson: ∫₀^{x₀} f

—

diferencia

—

La reducción de tanⁿ, en vivo

📖 Para profundizar → Thomas §8.2 · Ejemplo 5: ∫tan⁴x dx p. 446

La fórmula del problema 3 del Laboratorio 9 se aplica como un algoritmo: de $n$ baja a $n-2$, y así hasta $\tan^0 = 1$ o $\tan^1$. Mueve $n$ y el límite $b$: se muestra la cadena de reducciones y el valor $\int_0^b\tan^{n}x\,dx$ obtenido con la fórmula, contra el cálculo numérico directo. Si coinciden para todo $n$, la fórmula que el profesor dejó abierta es cierta.

n = 4 b = 1.00

cadena de reducción

—

con la fórmula

—

numérico (Simpson)

—

vueltas necesarias

—

Lo que se resolvió · y lo que quedó abierto

Los ejemplos, uno a uno

Las tres familias de la clase, con sus cuatro piezas (u, dv, du, v), y el problema 3 del Laboratorio 9 tal como quedó. Los enunciados se reconstruyeron del pizarrón.

Logaritmo · $u = \ln x$

$\int\ln x\,dx$: $u = \ln x$, $dv = dx$, $du = dx/x$, $v = x$:

$$x\ln x - \int dx = x\ln x - x + C$$

$\int x\ln x\,dx$ con $dv = x\,dx$, $v = x^2/2$: $\frac{x^2\ln x}{2} - \frac{x^2}{4} + C$. $\int x^2\ln x\,dx$: $\frac{x^3\ln x}{3} - \frac{x^3}{9} + C$. En general, $\frac{x^{n+1}\ln x}{n+1} - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} + C$.

Exponencial · $dv = e^{x}dx$

$\int x e^{x}dx$: $u = x$, $du = dx$, $v = e^{x}$:

$$x e^{x} - \int e^{x}dx = x e^{x} - e^{x} + C = e^{x}(x-1) + C$$

$\int x^{2}e^{x} = x^2e^x - 2xe^x + 2e^x + C$; $\int x^{3}e^{x} = x^3e^x - 3x^2e^x + 6xe^x - 6e^x + C$; por tabla, $\int x^{5}e^{x} = e^{x}(x^5 - 5x^4 + 20x^3 - 60x^2 + 120x - 120) + C$.

Cíclicas · $dv = \operatorname{sen}x\,dx$ o $\cos x\,dx$

$$\int x\operatorname{sen}x\,dx = -x\cos x + \operatorname{sen}x + C\qquad \int x\cos x\,dx = x\operatorname{sen}x + \cos x + C$$ $$\int x^{2}\operatorname{sen}x\,dx = -x^{2}\cos x + 2\int x\cos x\,dx = -x^{2}\cos x + 2x\operatorname{sen}x + 2\cos x + C$$

Por tabla: $u$: $x^2, 2x, 2, 0$; $dv$: $\operatorname{sen}x, -\cos x, -\operatorname{sen}x, \cos x$; signos $+,-,+$.

Laboratorio 9, problema 3 · abierto aquí, cerrado en la Clase 17

Demostrar: $\int\tan^{n}x\,dx = \frac{\tan^{n-1}x}{n-1} - \int\tan^{n-2}x\,dx$ ($n \ge 2$); $n = 1$: $\ln|\sec x| + C$ ✓ (con $u = \cos x$).

Intentos en clase: $u = \tan^n$, $dv = dx$ (sobra una $x$); $u = \tan^{n-2}$, $dv = \tan^2 dx$ con $v = \tan x - x$ (sobra una $x$); $u = \tan^{n-1}$, $dv = \tan\,dx$ con $v = \ln|\sec x|$ (no cuadra). Sustitución del salón: $u = \tan x$ ⇒ $\int\frac{u^n}{1+u^2}du$.

La pista — ábrela solo después de intentarlo

$\tan^n x = \tan^{n-2}x\,(\sec^2 x - 1)$. La primera pieza, $\int\tan^{n-2}x\sec^2 x\,dx$, es $\frac{\tan^{n-1}x}{n-1}$ con $u = \tan x$; la segunda es $-\int\tan^{n-2}x\,dx$. O bien, desde $\int\frac{u^n}{1+u^2}du$: $\frac{u^n}{1+u^2} = u^{n-2} - \frac{u^{n-2}}{1+u^2}$. Verificado en sympy para $n = 2,\dots,6$.

El cierre, en la Clase 17, Parte 14: el intento 2 ($v = \tan x - x$) terminado con una segunda integración por partes — las $x$ se cancelan — y la ruta del laboratorio con $u = \tan x$.

El inventario · lo que había antes del método

$\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$, $\operatorname{sen}^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$ (de $\cos(x+y)$ con $y = x$); $\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \operatorname{sen}^{-1}x$, $\int\frac{dx}{x^2+1} = \tan^{-1}x$, $\int\frac{dx}{|x|\sqrt{x^2-1}} = \sec^{-1}x$; la tabla de sustituciones; $\int a^{x} = a^{x}/\ln a$.

Las dos pepitas

La vida se vive en gerundio: el Dasein de Heidegger («el hombre no es, está siendo»), Frankl, y «la solución es enfrentarlo: se va dando».

Pemex y Gauss-Jordan: matrices de 5000 × 5000 se resuelven programando — pero «el que programa tiene que saber en qué se basa el sistema». Y Platón: la pura memoria es «el pretexto de los tontos».

Ponte a prueba

¿Qué tan clara quedó la clase?

1 · La fórmula $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ se deduce de…

2 · En $\int x\,e^{x}\,dx$, la partición que funciona es…

3 · ¿A cuál integral se le puede aplicar el método tabular?

4 · $\displaystyle\int\ln x\,dx = \;?$

5 · Con $dv = \operatorname{sen}x\,dx$ se tiene $v = -\cos x$. En $\int x\operatorname{sen}x\,dx = uv - \int v\,du$, el segundo término es…

6 · Para $\int\tan^{7}x\,dx$, la fórmula de reducción termina en…

7 · Con la sustitución $u = \tan x$, $\displaystyle\int\tan^{n}x\,dx$ se convierte en…

Para tu cuaderno

Practica: por partes, tabla y reducción

1 · Calcula $\displaystyle\int x\,e^{2x}\,dx$.

$u = x$, $dv = e^{2x}dx$, $du = dx$, $v = \tfrac12 e^{2x}$:

$$\int x e^{2x}dx = \frac{x e^{2x}}{2} - \frac12\int e^{2x}dx = \frac{x e^{2x}}{2} - \frac{e^{2x}}{4} + C = \Big(\frac{x}{2} - \frac14\Big)e^{2x} + C$$

Comprobación: la derivada es $\tfrac12 e^{2x} + x e^{2x} - \tfrac12 e^{2x} = x e^{2x}$ ✓ (sympy).

2 · Calcula $\displaystyle\int_1^{e} x^{3}\ln x\,dx$ (Thomas 8.1, ejercicio 6, ahora definida).

Con la fórmula general ($n = 3$): $\int x^{3}\ln x\,dx = \frac{x^{4}\ln x}{4} - \frac{x^{4}}{16} + C$.

$$\Big[\frac{x^{4}\ln x}{4} - \frac{x^{4}}{16}\Big]_1^{e} = \Big(\frac{e^{4}}{4} - \frac{e^{4}}{16}\Big) - \Big(0 - \frac{1}{16}\Big) = \frac{3e^{4}+1}{16} \approx 10.2997$$

Verificado numéricamente en sympy.

3 · Por tabla: $\displaystyle\int x^{2}\cos x\,dx$.

$u$: $x^{2}, 2x, 2, 0$. $dv$: $\cos x, \operatorname{sen}x, -\cos x, -\operatorname{sen}x$. Diagonales con signos $+,-,+$:

$$\int x^{2}\cos x\,dx = x^{2}\operatorname{sen}x - 2x(-\cos x) + 2(-\operatorname{sen}x) + C = x^{2}\operatorname{sen}x + 2x\cos x - 2\operatorname{sen}x + C$$

Derivando: $2x\operatorname{sen}x + x^2\cos x + 2\cos x - 2x\operatorname{sen}x - 2\cos x = x^2\cos x$ ✓.

4 · Calcula $\displaystyle\int\tan^{-1}x\,dx$ (Thomas 8.1, ejercicio 11): por partes con $dv = dx$.

Como con el logaritmo: $u = \tan^{-1}x$, $dv = dx$, $du = \frac{dx}{1+x^2}$, $v = x$:

$$\int\tan^{-1}x\,dx = x\tan^{-1}x - \int\frac{x\,dx}{1+x^{2}} = x\tan^{-1}x - \frac12\ln(1+x^{2}) + C$$

La segunda integral es una sustitución ($w = 1 + x^2$, $dw = 2x\,dx$): denominador lineal en $w$, logaritmo. Verificado en sympy.

5 · Usa la fórmula de reducción para $\displaystyle\int\tan^{3}x\,dx$, y compruébala derivando.

$n = 3$: $\int\tan^{3}x\,dx = \frac{\tan^{2}x}{2} - \int\tan x\,dx = \frac{\tan^{2}x}{2} - \ln|\sec x| + C$.

$$\frac{d}{dx}\Big[\frac{\tan^{2}x}{2} - \ln|\sec x|\Big] = \tan x\sec^{2}x - \tan x = \tan x(\sec^{2}x - 1) = \tan^{3}x\;✓$$

La comprobación usa exactamente la identidad $\tan^2 = \sec^2 - 1$: es la pista de la demostración pendiente.

En resumen

Lo que debes llevarte de la Clase 13

La integración por partes es la regla del producto leída al revés: $d(uv) = u\,dv + v\,du$ ⟹ $\int u\,dv = uv - \int v\,du$. Todo el arte está en partir el integrando: el logaritmo se deriva bien ($u = \ln x$), la exponencial y las cíclicas se integran sin cambiar ($dv$), las potencias bajan al derivarse ($u = x^{n}$). Con eso salen $\int\ln x = x\ln x - x$, $\int x^{n}\ln x$, $\int x^{n}e^{x}$, $\int x^{n}\operatorname{sen}x$… y cuando $dv$ tiene derivada constante o cíclica, la tabla hace las vueltas de golpe. Una fórmula de reducción baja el exponente paso a paso — es un algoritmo, y por eso se programa —; la de $\tan^{n}$ quedó abierta con dos herramientas sobre la mesa: $\tan^{2} = \sec^{2} - 1$ y $u = \tan x$ — la Clase 17 la cierra. Y la frase de la clase: «la vida se vive en gerundio».

¿Te perdiste algo? La Clase 13 Interactiva te lleva por las 19 partes al ritmo de la voz del profesor. La Clase 12 (exponenciales bajo la integral y el adelanto de «por partes»), la Clase 9 (∫tan, ∫sec, ∫csc y las inversas), la Clase 6 (la sustitución) y la Clase 5 (la diferencial) siguen ahí para el repaso.

La Clase 14 ya está aquí

El primer parcial, resuelto: los siete problemas del examen en el pizarrón, con su criterio — la tangente a una integral, Leibniz dentro de un cociente, derivación logarítmica, cotas mín–máx, tres integrales, la derivada de la inversa y las gráficas de 2ˣ y log₂x. Ir a la Clase 14 ▸

Integración por partes