Clase 14 · El primer parcial, resuelto

Formulario · para regresar rápido

Lo que cada problema necesita, a la mano

Siete problemas, siete herramientas: la tangente y el TFC, Leibniz y el cociente, la derivación logarítmica y las propiedades del logaritmo, el mín–máx, las identidades e inmediatas, las sustituciones con maniobra previa, la inversa y su derivada, las gráficas — y el teorema del álgebra que viene.

Problema 1 · tangente y TFC

$$y - y_0 = m\,(x - x_0),\qquad m = f'(x_0)$$ $$\frac{d}{dx}\int_{a}^{x} g(t)\,dt = g(x)$$ $$f(x) = x\int_{\pi/2}^{x}\frac{\operatorname{sen}t}{t}dt$$ $$\Rightarrow\; f'(x) = \operatorname{sen}x + \int_{\pi/2}^{x}\frac{\operatorname{sen}t}{t}dt$$

La $x$ de adentro es constante para la integral: sale. Luego, producto + TFC. ⟹ solo entre proposiciones.

Problema 2 · Leibniz y el cociente

$$\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)} g(u)\,du = g(b)\,b' - g(a)\,a'$$ $$\left(\frac{p}{q}\right)' = \frac{p'q - q'p}{q^{2}}$$

«Derivada del de arriba por el de abajo, menos derivada del de abajo por el de arriba, entre el de abajo al cuadrado.» Al revés no es error de signo.

Problema 3 · derivación logarítmica

$$y = f(x) \;\Rightarrow\; \ln y = \ln f(x)$$ $$\frac{y'}{y} = (\ln f(x))' \;\Rightarrow\; y' = y\cdot(\ln f(x))'$$ $$(\ln u)' = \frac{u'}{u}$$ $$\frac{d}{dx}x^{x^{2}} = x^{x^{2}}\,(x + 2x\ln x)$$

Derivar los dos lados — «no nomás una flechita» — y no olvidar subir la $y$.

Propiedades del logaritmo · las que pesan

$$\ln(ab) = \ln a + \ln b$$ $$\ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b$$ $$\ln a^{r} = r\ln a$$ $$\text{(exponente del argumento)}$$ $$\ln^{2}x = (\ln x)^{2} \ne 2\ln x$$ $$\ln(\ln^{2}x) = 2\ln(\ln x)$$ $$x^{x^{2}} \ne (x^{x})^{2} = x^{2x}$$ $$x\cdot x^{x^{2}} = x^{1+x^{2}}$$

Problema 4 · mín–máx

$$m\,(b-a) \le \int_a^b f(x)\,dx \le M\,(b-a)$$ $$m = \min_{[a,b]} f,\quad M = \max_{[a,b]} f$$ $$\text{(de la función, no los límites)}$$ $$2 \le \int_{-1}^{1}\sqrt{1+x^{2}+x^{4}}\,dx \le 2\sqrt{3} \lt 5$$

Si «mínimo = máximo», la función sería constante: chequeo gratis.

Problema 5 · identidades e inmediatas

$$1 - \operatorname{sen}^{2}x = \cos^{2}x$$ $$\frac{1}{1+\operatorname{sen}x} = \frac{1-\operatorname{sen}x}{\cos^{2}x}$$ $$\int\sec^{2}x\,dx = \tan x + C$$ $$\int\sec x\tan x\,dx = \sec x + C$$ $$\int\frac{du}{1+u^{2}} = \tan^{-1}u + C$$ $$\int\frac{dx}{1+\operatorname{sen}x} = \tan x - \sec x + C$$

Problema 5 · sustituir con maniobra previa

$$\sqrt{\frac{x-1}{x^{5}}} = \frac{1}{x^{2}}\sqrt{1-\frac{1}{x}}$$ $$u = 1 - \frac{1}{x},\quad du = \frac{dx}{x^{2}}$$ $$\int\sqrt{\tfrac{x-1}{x^{5}}}\,dx = \tfrac{2}{3}\big(1-\tfrac{1}{x}\big)^{3/2} + C$$ $$u = \sqrt{x}:\ dx = 2u\,du$$ $$\frac{u^{2}}{u^{2}+1} = 1 - \frac{1}{u^{2}+1}$$ $$\int\frac{\sqrt{x}}{x+1}\,dx = 2\sqrt{x} - 2\tan^{-1}\sqrt{x} + C$$

Problema 6 · derivable, inversa, derivada de la inversa

$$\text{derivable} \Rightarrow \text{continua}$$ $$\text{continua} \not\Rightarrow \text{derivable}$$ $$f' \gt 0 \Rightarrow \text{estr. creciente}$$ $$\Rightarrow \text{inyectiva} \Rightarrow \text{invertible}$$ $$(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)},\quad f(x_0) = y_0$$ $$f = 4e^{5x} + \int_0^x\sqrt{16+2t^{4}+t^{6}}\,dt$$ $$f(0) = 4,\ f'(0) = 24,\ (f^{-1})'(4) = \tfrac{1}{24}$$

La raíz, como función, es positiva. Dominio (radicando ≥ 0) y signo son cosas distintas.

Problema 7 · las gráficas

$$a^{x} \gt 0,\qquad a^{0} = 1$$ $$\text{todas las exponenciales por } (0,1)$$ $$\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a},\qquad \log_a 1 = 0$$ $$\text{todos los logaritmos por } (1,0)$$ $$x \gt 0:\ 3^{x} \gt 2^{x}$$ $$x \gt 1:\ \log_3 x \lt \log_2 x$$

Asíntota vertical $x = 0$ en los logaritmos; ninguna exponencial toca el eje $x$.

Lo que sigue · teorema fundamental del álgebra

$$a_n z^{n} + \cdots + a_1 z + a_0 = 0$$ $$\text{tiene exactamente } n \text{ raíces en } \mathbb{C}$$ $$\text{coeficientes reales:}$$ $$p(z) = 0 \Rightarrow p(\bar z) = 0$$ $$z^{3} = 8:\ z = 2,\ -1 \pm i\sqrt{3}$$

Base del método de fracciones parciales. Sustitución ← cadena; por partes ← $d(uv)$.

El mapa de la sesión · problema por problema

Siete problemas, con su criterio

📖 Para profundizar → Thomas §5.4 · Teorema fundamental del cálculo, parte 1 p. 276 📖 Para profundizar → Thomas §7.2 · Derivación logarítmica p. 375 📖 Para profundizar → Thomas §5.3 · Tabla 5.4, desigualdad máx–mín p. 266 📖 Para profundizar → Thomas §7.1 · Regla de la derivada para inversas p. 365 🧪 Los problemas 1 y 4 ya se habían planteado → Laboratorio 2 · ejercicios 3 y 5 🧪 La misma familia que el problema 6 → Laboratorio 5 · ejercicios 2 y 3

Cada problema es un hilo (una o dos partes de la clase interactiva):

Problema 1 · la tangente a $f(x) = \int_{\pi/2}^{x} x\,\frac{\operatorname{sen}t}{t}dt$ en $x_0 = \pi/2$ (Partes 1–2). La $x$ de adentro es constante para la integral y sale: $f = x\int_{\pi/2}^{x}\frac{\operatorname{sen}t}{t}dt$. La recta es $y - y_0 = m(x - x_0)$ donde $m = f'(x_0)$; $y_0 = f(\pi/2) = 0$. Lo que el TFC dice (la derivada de la integral es $\operatorname{sen}x/x$) y lo que no dice (la integral no es $\operatorname{sen}x/x$). Producto: $f'(x) = \operatorname{sen}x + \int_{\pi/2}^{x}\frac{\operatorname{sen}t}{t}dt$, $f'(\pi/2) = 1 + 0 = 1$. Doble marco: $y = x - \pi/2$. Digresión: ⟹ solo entre dos proposiciones.
Problema 2 · el cociente $F(x)$, con $\int_{3x-1}^{5x+1}\sqrt{u^{3}-2}\,du$ arriba y $x^{2}+9$ abajo (Parte 3). Regla del cociente en su orden (al revés «no es error de signo: es no saber la regla») y Leibniz arriba: $$F'(x) = \frac{(x^{2}+9)\,N(x) - 2x\,I(x)}{(x^{2}+9)^{2}}$$ $$N(x) = 5\sqrt{(5x+1)^{3}-2} - 3\sqrt{(3x-1)^{3}-2}$$ $$I(x) = \int_{3x-1}^{5x+1}\sqrt{u^{3}-2}\,du$$ «No hay mucho más que simplificar»: el primer término queda entre $x^{2}+9$; la integral se deja escrita.
Problema 3 · derivación logarítmica (Partes 4–6). (1) $y = x^{x^{2}}$: $\ln y = x^{2}\ln x$ (no $2x\ln x$: $x^{x^{2}} \ne (x^{x})^{2}$); $y'/y = x + 2x\ln x$; $y' = x^{x^{2}}[x + 2x\ln x]$. Factorizar sí; $x\cdot x^{x^{2}} \ne x^{x^{3}}$. (2) $h = \ln^{2}x/((x^{2}-1)^{3/2}\sqrt{3+\operatorname{sen}x})$: $\ln y = 2\ln(\ln x) - \tfrac32\ln(x^{2}-1) - \tfrac12\ln(3+\operatorname{sen}x)$ — el 2 de $\ln^{2}x$ no baja al principio; dentro del logaritmo sí —; $y' = y\big[\frac{2}{x\ln x} - \frac{3x}{x^{2}-1} - \frac{\cos x}{2(3+\operatorname{sen}x)}\big]$. Derivar directo se puede, «para eso se usan los logaritmos».
Problema 4 · $2 \le \int_{-1}^{1}\sqrt{1+x^{2}+x^{4}}\,dx \lt 5$ (Parte 7). Mín–máx con el mínimo y el máximo de la función, no de los límites: $M = f(\pm 1) = \sqrt{3}$, $m = f(0) = 1$, $b - a = 2$: $2 \le \int \le 2\sqrt{3} \lt 5$. Quien toma «mínimo a la izquierda» obtiene $m = M$: la función sería constante.
Problema 5 · tres integrales (Partes 8–10). (1) $\int\frac{dx}{1+\operatorname{sen}x}$: conjugado, y nunca «$\int\cdots = $ algo sin integral»; $\int\sec^{2} - \int\sec\tan = \tan x - \sec x + C$. (2) $\int\sqrt{(x-1)/x^{5}}\,dx$: $x^{5} = x^{4}\cdot x$, $u = 1 - 1/x$ «queda exacto»: $\frac23(1-1/x)^{3/2} + C$. (3) $\int\frac{\sqrt{x}}{x+1}dx$: $u = \sqrt{x}$, $dx = 2u\,du$, sumar y restar 1: $2\sqrt{x} - 2\tan^{-1}\sqrt{x} + C$ (el pizarrón cerró sin el segundo 2; se corrige derivando).
Problema 6 · $f(x) = 4e^{5x} + \int_0^x\sqrt{16+2t^{4}+t^{6}}\,dt$ (Partes 11–14). (a) Derivable: exponencial + integral de una continua con límites derivables + suma — no «es positiva», no «es continua». (b) $f' = 20e^{5x} + \sqrt{\cdots} \gt 0$ (la raíz, como función, es positiva) ⟹ estrictamente creciente ⟹ biyectiva ⟹ invertible: tres renglones. (c) $(f^{-1})'(4) = 1/f'(x_0)$ con $f(x_0) = 4$: $x_0 = 0$, $f'(0) = 20 + 4 = 24$, respuesta $1/24$. Y la pausa: escribir al grano; $\sqrt{2}$ es más exacto que 1.4; explicárselo al jardinero.
Problema 7 · $2^{x}, 3^{x}, \log_2 x, \log_3 x$ (Parte 15). La forma: todas las exponenciales por $(0,1)$, positivas, $3^{x}$ más empinada para $x \gt 0$; todos los logaritmos por $(1,0)$ con asíntota $x = 0$, $\log_3$ por abajo para $x \gt 1$.
Cierre (Partes 16–18). «A la vida hay que responderle, no preguntarle»: Frankl, Nietzsche, el Dasein, el diálogo socrático. Y el hilo conductor: sustitución ← cadena, por partes ← $d(uv)$, fracciones parciales ← teorema fundamental del álgebra ($n$ raíces en $\mathbb{C}$, conjugadas por pares; $z^{3} = 8$ tiene tres).

Laboratorio interactivo · la estrella

La tangente a una integral, en vivo

📖 Para profundizar → Thomas §5.4 · TFC parte 1 y la regla de Leibniz p. 276

$f(x) = x\int_{\pi/2}^{x}\frac{\operatorname{sen}t}{t}\,dt$, calculada numéricamente (Simpson). Mueve $x_0$: se dibuja la tangente real, con pendiente $f'(x_0) = \operatorname{sen}x_0 + \int_{\pi/2}^{x_0}\frac{\operatorname{sen}t}{t}dt$ — producto + TFC —. En $x_0 = \pi/2$ la pendiente es exactamente 1 y la recta es $y = x - \pi/2$.

x₀ = 1.57

f(x₀)

—

f′(x₀) = sen x₀ + ∫

—

la tangente

—

f(x₀ + 0.1) real vs recta

—

Las cotas mín–máx, en vivo

📖 Para profundizar → Thomas §5.3 · Tabla 5.4 (e): desigualdad máx–mín p. 266

$\int_{-c}^{c}\sqrt{1+x^{2}+x^{4}}\,dx$. Mueve $c$: el mínimo es siempre $m = f(0) = 1$, el máximo $M = f(c) = \sqrt{1+c^{2}+c^{4}}$, y el ancho $2c$. Los dos rectángulos encierran el área; con $c = 1$ se recupera $2 \le \int \le 2\sqrt{3}$.

c = 1.00

m·(b−a) = 1·2c

—

∫ (Simpson)

—

M·(b−a) = √(1+c²+c⁴)·2c

—

¿se cumple m(b−a) ≤ ∫ ≤ M(b−a)?

—

La derivada de la inversa, en vivo

📖 Para profundizar → Thomas §7.1 · Teorema 1: regla de la derivada para inversas p. 365

$f(x) = 4e^{5x} + \int_0^x\sqrt{16+2t^{4}+t^{6}}\,dt$ y su inversa (reflejo en $y = x$). Mueve $y_0$: se busca $x_0$ con $f(x_0) = y_0$ (bisección — sin fórmula para $f^{-1}$), y $(f^{-1})'(y_0) = 1/f'(x_0)$. Las dos tangentes son reflejo una de la otra. En $y_0 = 4$: $x_0 = 0$ y $1/24$.

y₀ = 4.00

x₀ = f⁻¹(y₀) (bisección)

—

f′(x₀) = 20e^{5x₀} + √(…)

—

(f⁻¹)′(y₀) = 1/f′(x₀)

—

comprobación f(x₀)

—

Lo que se resolvió · y dónde se tropieza

Los problemas, uno a uno

Cada problema con su resultado verificado (sympy) y el tropiezo que el profesor señaló. Los enunciados se reconstruyeron del pizarrón.

1 · Tangente a $\int_{\pi/2}^{x} x\,\frac{\operatorname{sen}t}{t}dt$

$$f'(x) = \operatorname{sen}x + \int_{\pi/2}^{x}\frac{\operatorname{sen}t}{t}\,dt$$ $$f'(\pi/2) = 1 + 0 = 1$$ $$y = x - \tfrac{\pi}{2}$$

Tropiezo: escribir «la integral $= \operatorname{sen}x/x$» sin el símbolo de derivada, o encadenar con flechitas. $f(\pi/2 + 0.1) = 0.10295$ contra 0.1 de la recta.

2 · Cociente con Leibniz

$$F'(x) = \frac{N(x)}{x^{2}+9} - \frac{2x\,I(x)}{(x^{2}+9)^{2}}$$ $$N(x) = 5\sqrt{(5x+1)^{3}-2} - 3\sqrt{(3x-1)^{3}-2}$$ $$I(x) = \int_{3x-1}^{5x+1}\sqrt{u^{3}-2}\,du$$

Tropiezo: la regla del cociente al revés — «no es error de signo, es no saber la regla». La integral se deja escrita.

3 · Derivación logarítmica

$$\frac{d}{dx}x^{x^{2}} = x^{x^{2}}\big[x + 2x\ln x\big]$$ $$h' = h\Big[\tfrac{2}{x\ln x} - \tfrac{3x}{x^{2}-1} - \tfrac{\cos x}{2(3+\operatorname{sen}x)}\Big]$$

Tropiezos: $x^{x^{2}}$ leído como $x^{2x}$; bajar el 2 de $\ln^{2}x$; $(\ln u)'$ sin la cadena; olvidar subir la $y$; $x\cdot x^{x^{2}} = x^{x^{3}}$ (álgebra elemental).

4 · Cotas mín–máx

$$m = f(0) = 1,\qquad M = f(\pm 1) = \sqrt{3}$$ $$b - a = 2$$ $$2 \le \int_{-1}^{1}\sqrt{1+x^{2}+x^{4}}\,dx \le 2\sqrt{3} \lt 5$$ $$(\text{numéricamente, } \int \approx 2.4395)$$

Tropiezo: tomar $m$ y $M$ en los límites ($m = M = \sqrt{3}$ ⇒ función constante). El paso $2\sqrt{3} \lt 5$ es aparte y estricto.

5 · Tres integrales

$$\int\frac{dx}{1+\operatorname{sen}x} = \tan x - \sec x + C$$ $$\int\sqrt{\frac{x-1}{x^{5}}}\,dx = \frac{2}{3}\Big(1 - \frac{1}{x}\Big)^{3/2} + C$$ $$\int\frac{\sqrt{x}}{x+1}\,dx = 2\sqrt{x} - 2\tan^{-1}\sqrt{x} + C$$

Tropiezos: una integral «igual» a algo sin integral; sustituir sin la operación algebraica previa; «sea $u = x$»; separar la integral de un producto. En la tercera, el pizarrón cerró con $2\sqrt{x} - \tan^{-1}\sqrt{x}$: derivando se ve que falta el 2 (la misma integral se hizo con el 2 en la Clase 6, y la solución oficial del cuaderno también lo lleva). Las tres son el ejercicio 2 (b), (c) y (e) de la Tarea 6.

6 · Derivable, invertible, $(f^{-1})'(4)$

$$f'(x) = 20e^{5x} + \sqrt{16+2x^{4}+x^{6}} \gt 0$$ $$f(0) = 4,\quad f'(0) = 24,\quad (f^{-1})'(4) = \tfrac{1}{24}$$

Tropiezos: «es positiva ⇒ derivable»; «es derivable y creciente» como hipótesis; la raíz con ±; confundir $(f^{-1})'(4)$ con $f^{-1}(4)$. Tres renglones, tres palabras.

7 · Las cuatro gráficas

$2^{x}$ y $3^{x}$: por $(0,1)$, siempre positivas; $3^{x}$ arriba para $x \gt 0$ y abajo para $x \lt 0$. $\log_2 x$ y $\log_3 x$: por $(1,0)$, asíntota $x = 0$; $\log_3$ abajo para $x \gt 1$, arriba en $(0,1)$.

Tropiezo: exponenciales que bajan del eje; logaritmos sin asíntota; detalle de dominios y rangos en lugar de la forma.

Las pepitas

Escribir poco: sintetizar; $\sqrt{2}$ es más exacto que 1.4; «ahora contésteme lo que le pregunté»; explícaselo al jardinero.

A la vida hay que responderle: valor de actitud; Frankl (el sentido se descubre) contra Nietzsche (los valores se eligen); la libertad última; Dasein; el diálogo socrático; «todos los problemas tienen solución — la encuentra cada quien».

Ponte a prueba

¿Qué tan clara quedó la clase?

1 · En $f(x) = \int_{\pi/2}^{x} x\,\frac{\operatorname{sen}t}{t}dt$, lo primero es…

2 · $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{3x-1}^{5x+1}\sqrt{u^{3}-2}\,du = \;?$

3 · $\ln(\ln^{2}x) = \;?$

4 · Para acotar $\int_{-1}^{1}\sqrt{1+x^{2}+x^{4}}\,dx$ con el mín–máx, $m$ y $M$ son…

5 · $\displaystyle\int\frac{dx}{1-\operatorname{sen}x} = \;?$ (el conjugado ahora es $1 + \operatorname{sen}x$)

6 · ¿Cuál argumento justifica que $\int_0^x\sqrt{16+2t^{4}+t^{6}}\,dt$ es derivable?

7 · Si $g(x) = x^{3} + x + 1$, entonces $(g^{-1})'(3) = \;?$

Para tu cuaderno

Practica: los mismos siete criterios

1 · Halla la tangente a $g(x) = x\displaystyle\int_1^x\frac{\cos t}{t}\,dt$ en $x_0 = 1$.

$g(1) = 1\cdot\int_1^1 = 0$. Producto + TFC: $g'(x) = \int_1^x\frac{\cos t}{t}dt + x\cdot\frac{\cos x}{x} = \int_1^x\frac{\cos t}{t}dt + \cos x$; $g'(1) = 0 + \cos 1$.

$$y - 0 = \cos(1)\,(x - 1)$$ $$y = \cos(1)\,(x - 1) \approx 0.5403\,(x-1)$$

Verificado en sympy: $g(1) = 0$, $g'(1) = \cos 1$.

2 · Deriva $G(x) = \displaystyle\int_{x}^{x^{2}}\sqrt{1+t^{3}}\,dt$.

Regla de Leibniz: el integrando en el límite superior por su derivada, menos el integrando en el inferior por su derivada:

$$G'(x) = \sqrt{1 + x^{6}}\cdot 2x - \sqrt{1 + x^{3}}\cdot 1$$ $$= 2x\sqrt{1+x^{6}} - \sqrt{1+x^{3}}$$

Verificado en sympy.

3 · Deriva $y = (x^{2}+1)^{x}$ por derivación logarítmica.

$\ln y = x\ln(x^{2}+1)$ (el exponente del argumento baja). Derivando los dos lados: $\frac{y'}{y} = \ln(x^{2}+1) + x\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}$. Subir la $y$:

$$y' = (x^{2}+1)^{x}\Big[\ln(x^{2}+1) + \frac{2x^{2}}{x^{2}+1}\Big]$$

Verificado en sympy.

4 · Prueba que $1 \le \displaystyle\int_0^1\sqrt{1+x^{3}}\,dx \le \sqrt{2}$.

$f(x) = \sqrt{1+x^{3}}$ es creciente en $[0,1]$ (el radicando crece): $m = f(0) = 1$, $M = f(1) = \sqrt{2}$, $b - a = 1$.

$$1\cdot 1 \le \int_0^1\sqrt{1+x^{3}}\,dx \le \sqrt{2}\cdot 1$$ $$(\int \approx 1.1114\text{, sympy})$$

5 · $f(x) = x^{3} + x + 1$. Justifica que tiene inversa y calcula $(f^{-1})'(3)$.

$f'(x) = 3x^{2} + 1 \gt 0$ ⟹ estrictamente creciente ⟹ biyectiva (codominio = imagen) ⟹ invertible. Tres renglones.

$f(x_0) = 3$: $x_0 = 1$ ($1 + 1 + 1 = 3$); $f'(1) = 4$:

$$(f^{-1})'(3) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{4}$$

Reto: $\int\frac{\sqrt{x}}{x+4}\,dx$ con $u = \sqrt{x}$ — sumar y restar 4 — da $2\sqrt{x} - 4\tan^{-1}\!\frac{\sqrt{x}}{2} + C$ (sympy). Comprueba derivando.

El primer parcial, resuelto