El laboratorio que atraviesa dos clases: la Clase 4 lo abre con el mín–máx (\(\tfrac13 \le \int_4^6 \tfrac{dx}{x} \le \tfrac12\)) y el teorema del valor medio (\(f(c) = g(c)\)), y la Clase 5 lo termina — la recta tangente del Problema 5, la \(a = 81\) escondida en una ecuación integral, y los cuatro incisos que estrenan la regla de Leibniz. Cada ejercicio enlaza a la parte exacta donde el profesor lo trabaja.
El enunciado fiel, y debajo el botón a la parte de la clase interactiva donde se resuelve. Lo honesto: primero inténtalo en tu cuaderno; el botón es para comparar.
Demuestre que:
$$\frac13 \;\le\; \int_{4}^{6} \frac{1}{x}\,dx \;\le\; \frac12\,.$$
A partir de las desigualdades
$$1 - \tfrac12 x^{2} \;\le\; \cos(x) \;\le\; 1 - \tfrac12 x^{2} + \tfrac{1}{24}x^{4}\,, \qquad \text{para } 0 \le x \le 1,$$obtén cotas superior e inferior para \(\displaystyle\int_{0}^{1} \cos(\sqrt{x}\,)\,dx\).
✍️ Para tu cuaderno — el profesor lo dejó dicho en la Parte 26: «el 2 y el 3 son muy parecidos: quedan para ustedes». Las armas: sustituir \(\sqrt{x}\) en las desigualdades, la dominancia de la Clase 3, y las primitivas de potencias de la Clase 4.
▶ Clase 3 · Parte 30 — la dominancia ▶ Clase 4 · Parte 7 — los primeros cálculosPrueba la siguiente desigualdad para \(f(x) = \sqrt{1 + x^{2} + x^{4}}\):
$$2 \;\le\; \int_{-1}^{1} f(x)\,dx \;\le\; 2\sqrt{3}\,.$$
Sean \(f, g : [a,b] \to \mathbb{R}\) continuas (\(a \lt b\)) tales que \(\displaystyle\int_{a}^{b}\bigl(f(x) - g(x)\bigr)\,dx = 0\). Prueba que existe \(c \in [a,b]\) tal que \(f(c) = g(c)\).
Determina la ecuación de la recta tangente a
$$f(x) = \int_{\pi/2}^{x} x\,\frac{\operatorname{sen} t}{t}\,dt$$en \(x = \dfrac{\pi}{2}\). Utiliza este resultado para estimar el valor de \(f\!\left(\dfrac{\pi}{2} + 0.1\right)\).
Determina una función continua \(f : \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}\) y una constante \(a \in \mathbb{R}^{+}\) tales que
$$27 + \int_{a}^{x} \frac{f(t)}{t}\,dt \;=\; 3x^{1/2}, \qquad \forall\, x > 0.$$
Justifica si las siguientes funciones son diferenciables y calcula su derivada. Reducir el resultado:
Verifica rigurosamente que:
1. Si \(f\) es una función lineal en el intervalo \([a,b] \subset \mathbb{R}\), entonces se satisface la identidad
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \;=\; \frac{f(b) + f(a)}{2}\,(b-a)\,.$$2. Si \(f\) es una función cuadrática en el intervalo \([a,b] \subset \mathbb{R}\), entonces se satisface la identidad
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \;=\; \frac{f(a) + 4f\!\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b)}{6}\,(b-a)\,.$$Hint: divide y vencerás — utiliza las propiedades que conoces para separar en integrales más sencillas. Breviario cultural: si \(f(x)\) es cúbica, el resultado continúa siendo válido.
✍️ Para tu cuaderno — la parte 1 se demostró en la Clase 6 (Parte 8); la parte 2 quedó de tarea. Estas dos identidades son, exactamente, la regla del trapecio y la regla de Simpson: las fórmulas con las que se aproximan integrales que no se pueden calcular a mano… solo que aquí, para lineales y cuadráticas, no aproximan: dan el valor exacto.
📖 Para profundizar → Thomas §8.6 · Integración numérica: trapecio y Simpson p. 471