La Clase 3 cerró con nueve propiedades y una promesa: la «propiedad 10». La Clase 4 la cumple — el Teorema Fundamental del Cálculo, en sus dos partes: la de Newton (derivar la integral devuelve el integrando) y la receta \(\int_a^b f = F(b) - F(a)\) que jubila a las particiones. Nace la integral indefinida con su familia de curvas, el mín–máx y el valor medio se ponen a trabajar… y en el laboratorio, la telescópica y Gauss rinden cuentas hasta hacer nacer la serie geométrica.
Protagonista: \(\varphi(x) = \int_a^x f(t)\,dt\) — la función que acumula la integral hasta \(x\) (la \(t\) es muda; la variable del problema vive en el límite superior). Newton la deriva con los cuatro pasos «de la prepa»:
La segunda parte convierte la sorpresa en herramienta. Si encuentras cualquier \(F\) con \(F' = f\): como \(\varphi\) y \(F\) tienen la misma derivada, difieren en una constante («son paralelas»). Evaluando en \(a\) — donde \(\varphi(a) = \int_a^a = 0\) — la constante se despeja: \(C = -F(a)\). Y evaluando en \(b\):
\(\int f(x)\,dx = F(x) + C\): no una función — una familia completa (las «parábolas trasladadas»). Una condición inicial, como \(F(0)=1\), elige a un solo miembro. Apostol la presenta en el orden histórico: primero la integral — como este curso.
\(\int k\,dx = kx + C\) · \(\int x^n dx = \tfrac{x^{n+1}}{n+1} + C\) (para \(n \neq -1\); el caso \(n=-1\) queda pendiente: \(\ln|x|+C\)) · \(\int \operatorname{sen} x\,dx = -\cos x + C\) · \(\int \cos x\,dx = \operatorname{sen} x + C\). Verificación universal: deriva tu resultado.
Indefinida: siempre \(+C\) — sin constante, está mal. Definida: nunca \(C\) — se cancelaría en \(F(b)-F(a)\), y ponerla también está mal. Dos errores espejo… y dos hábitos que valen puntos.
La misma curva del laboratorio de Riemann de la Clase 3 — \(f(t) = 1 + \operatorname{sen} t\) — pero ahora mira lo que el TFC promete: mueve la \(x\) y observa cómo el área acumulada (izquierda) va dibujando la función \(\varphi(x)\) (derecha)… cuya pendiente en cada punto es exactamente la altura \(f(x)\). Donde \(f\) es grande, \(\varphi\) sube rápido.
área acumulada f (izquierda) y φ (derecha) tangente de φ — su pendiente SIEMPRE es f(x)
Dos propiedades de la Clase 3 pasaron de teoría a herramienta:
El ejercicio 1 del laboratorio recorrió todo el arsenal de la Clase 2. Toca cada inciso:
Una suma que no empieza en 1 se calcula por diferencia: \(\sum_1^{200} - \sum_1^{100} = 20{,}100 - 5{,}050 = 15{,}050\). Se resta hasta 100 — restar hasta 101 te comería un término tuyo. Y las dos Gauss se hacen por separado: sus \(n\) «no se mueven en el mismo rango».
Aditiva + homogénea: \(6\sum_2^{30} j + \tfrac43 \sum_2^{30} j^2 = 6\cdot 464 + \tfrac43\cdot 9{,}454\). Con \(\sum_1^{30} j = 465\) y \(\sum_1^{30} j^2 = \tfrac{30^3}{3}+\tfrac{30^2}{2}+\tfrac{30}{6} = 9{,}455\) — la fórmula demostrada en la Clase 2. ¿Y para \(i^5\)? Mismo método: desarrollar \(i^6 - (i-1)^6\) y usar la telescópica.
El «corazón» (aporte de un alumno): \(k+1 = (k+2)-1\). No se cancela a lo bruto — «hay suma» — pero separando fracciones y usando \((k+2)! = (k+2)(k+1)!\) queda \(\sum\left(\tfrac{1}{(k+1)!} - \tfrac{1}{(k+2)!}\right)\): telescópica. Sobreviven las puntas: \(\tfrac12 - \tfrac{1}{(n+2)!}\). Y en el límite… la suma infinita vale \(\tfrac12\).
Multiplicar por \((1-q)\), meter el factor (homogénea al revés) y dejar que la telescópica cancele todo salvo \(1 - q^{m+1}\). Vale para \(q \neq 1\); si \(q = 1\), la suma es simplemente \(m+1\) (¡son \(m+1\) términos — los postes son uno más que los tramos!).
📖 Para profundizar → Thomas §10.2 · Series geométricas p. 544El «difícil» que ya estaba hecho: solo falta el límite de \(q^{m+1}\), que con \(|q| < 1\) se desploma a cero (\(\tfrac12, \tfrac14, \tfrac18, \ldots\)). Resultado: la serie geométrica converge a \(\tfrac{1}{1-q}\) cuando su razón cumple \(|q| < 1\). Anuncio oficial del tema de series.
📖 Para profundizar → Thomas §10.2 · La serie geométrica converge si |r| < 1 p. 544Al revés: de \(\int_0^1 (1+x)^2 dx\) a su suma: \(\lim_n \sum (1+\tfrac{k}{n})^2 \tfrac1n\), con partición \(x_k = \tfrac{k}{n}\) y \(c_k = \tfrac{k}{n}\).
Reconocer: \(\lim_n \sum \tfrac{n}{n^2+k^2}\) — se fabrica el \(\tfrac1n\) (dividir afuera, multiplicar adentro), se divide entre \(n^2\)… y aparece \(\int_0^1 \tfrac{dx}{1+x^2}\): la misma función que acotamos arriba. Los límites de integración se leen del \(c_k\).
📖 Para profundizar → Thomas §5.3 · Ejercicios: exprese límites como integrales p. 2701 · ¿Qué dice la primera parte del Teorema Fundamental?
2 · Con la receta: \(\displaystyle\int_2^5 3\,dx = \,?\)
3 · ¿En cuál de las dos integrales va la constante \(C\)?
4 · Si \(|q| < 1\), la serie \(1 + q + q^2 + \cdots\) converge a…
Primitiva: \(F(x) = \tfrac{x^3}{3}\) (¡sin \(C\): es definida!). Entonces \(\tfrac{x^3}{3}\Big|_1^3 = \tfrac{27}{3} - \tfrac{1}{3} = \tfrac{26}{3}\). Verificación: \(F'(x) = x^2\) ✓.
El integrando decrece en \([0,2]\): máximo \(f(0)=1\), mínimo \(f(2)=\tfrac15\). Mín–máx con \(b-a=2\): \(\tfrac15\cdot 2 = \tfrac25 \le I \le 1\cdot 2 = 2\) ✓. ¿Quieres refinar? Parte \([0,2]\) en \([0,1]\) y \([1,2]\) y suma las desigualdades.
📖 Para profundizar → Thomas §5.3 · Ejercicios 73–74 del libro — el mismo problema p. 272\(\sum_1^{150} - \sum_1^{50} = \tfrac{150\cdot 151}{2} - \tfrac{50\cdot 51}{2} = 11{,}325 - 1{,}275 = 10{,}050\). (Se resta hasta 50 — el 51 es tuyo.)
Es geométrica con \(q = \tfrac13\) y \(|q| < 1\): converge a \(\tfrac{1}{1-1/3} = \tfrac{3}{2}\).
📖 Para profundizar → Thomas §10.2 · Series geométricas p. 544\(\bar f = \tfrac14 \int_0^4 x\,dx = \tfrac14\cdot\tfrac{16}{2} = 2\) (la integral, por la receta: \(\tfrac{x^2}{2}\big|_0^4 = 8\)). Se alcanza donde \(f(c) = 2\): como \(f(x)=x\)… \(c = 2\), que está en \((0,4)\) ✓.
¿Te perdiste algo? La Clase 4 Interactiva te lleva por las 46 partes al ritmo de la voz del profesor. La Clase 3, la Clase 2 y la Clase 1 siguen ahí para el repaso.