La Clase 1 contó la historia; la Clase 2 hace las matemáticas. De Galois a Fermat como puente, y luego el pizarrón de verdad: la definición inductiva del símbolo \(\Sigma\), sus propiedades demostradas, las fórmulas de Gauss… y el regreso de la exhaución — esta vez con el álgebra completa, rumbo a \(\tfrac{b^3}{3}\).
La clase abre con el salón reconstruyendo de memoria el viaje de la Clase 1… y el profesor lo prolonga con capítulos nuevos. Toca cada uno para abrirlo.
El álgebra quedó «más o menos» desarrollada — nunca estructurada como ciencia. Un joven francés, Évariste Galois, decidió hacer con el álgebra lo que Euclides hizo con la geometría. Se aburría en el internado, se iba de pinta… a la biblioteca, donde descubrió «Los Elementos».
Activista revolucionario, murió a los 20 años en un duelo que — cuenta el profesor — fue una trampa. Pero ya había creado la teoría de Galois: la que dice exactamente cuándo una ecuación de quinto grado en adelante puede resolverse con fórmulas (en general, no se puede: del grado 5 en adelante no existe fórmula general con radicales). Su «fracaso» — demostrar que el álgebra no admitía la estructura de Euclides — fundó el álgebra moderna. Hoy su teoría llena una materia universitaria completa, con conexiones sorprendentes: el grupo de rotaciones del icosaedro es justamente la razón profunda de que la quíntica no tenga fórmula. Para conocerlo: «El elegido de los dioses» (Leopold Infeld), su biografía novelada.
Newton llegó al cálculo por la física. Su ley de la gravitación universal — enunciada con todas sus letras en esta clase — se traduce a símbolos así:
$$F = G\,\frac{m_1\, m_2}{r^2}$$Fuerza directamente proporcional al producto de las masas, inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. No había matemáticas capaces de desarrollarla… así que Newton las terminó de construir: su «método de las fluxiones» — de los cambios.
Leibniz llegó a lo mismo desde la lógica simbólica. Y en las notaciones se les nota el carácter: Newton escribe la derivada con un puntito (\(\dot{x}\)); Leibniz, como \(\frac{dy}{dx}\) — que no es un cociente: es un símbolo. Leibniz era tan difícil de interpretar que tuvo «voceros» que explicaban lo que quiso decir… y de esa niebla viene una confusión que dura carreras enteras: la diferencia entre derivada y diferencial.
Pierre de Fermat — abogado de profesión, matemático por hobby — escribía en los márgenes de sus libros. En uno dejó el enunciado más famoso de la historia:
$$x^n + y^n = z^n \quad \text{no tiene solución en enteros positivos si } n \ge 3.$$Con \(n=2\) es el teorema de Pitágoras — infinitas ternas (3, 4, 5…). Con \(n \ge 3\): ninguna. Tardó unos 358 años en demostrarse (Andrew Wiles, 1995). El profesor lo vivió de cerca: en un congreso en Panamá, en los noventa, repartieron un cuadernito con una «demostración»… que su departamento revisó y encontró errónea. Moraleja del oficio: ninguna afirmación vale sin revisión.
Para este curso, el gran regalo de Fermat es otro: resolvió el problema de la tangente con un cambio de mirada — el problema no es global, es local: la tangente se decide en una vecindad del punto, en «pedacitos». De ese enfoque local nace el cálculo diferencial entero.
El siglo XIX metió la lógica a las matemáticas — y nació el «trabalenguas» del primer semestre:
$$\lim_{x \to x_0} f(x) = L \iff \forall\, \varepsilon > 0 \;\, \exists\, \delta > 0 : \; 0 < |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon$$La idea es sencilla — lo difícil es el idioma. Por eso la postura del curso: primero una justificación geométrica, bonita, buena; la demostración formal puede esperar.
El cálculo siguió creciendo — cálculo de variaciones, teoría de control, funcionales (funciones cuyo dominio puede ser un espacio de funciones) — hasta volverse «la máxima contribución de las matemáticas». Y la historia grande siguió también: la modernidad está terminando, dice el profesor, y empieza una nueva era — la de la inteligencia artificial y la ciencia de datos. En su corazón… sigue el cálculo.
La Clase 1 habló del «diccionario perfecto» entre geometría y álgebra. Esta clase le pone nombre técnico a cada pieza — y de paso se asoma a los infinitos de Cantor:
Una función biyectiva (inyectiva: sin repetir + sobreyectiva: sin faltar): a cada elemento de un conjunto le corresponde exactamente uno del otro… y al revés.
Biunívoca y que preserva las estructuras — la suma y el producto:
$$f(a+b) = f(a) + f(b), \qquad f(a\cdot b) = f(a)\cdot f(b)$$«Sumar algebraicamente equivale a sumar con regla y compás.» Dos conjuntos isomorfos se tratan como el mismo.
El infinito más chico: el numerable, \(\aleph_0\) — el que se puede poner en correspondencia biunívoca con \(\mathbb{N}\). Su aritmética desafía la intuición:
$$\aleph_0 + \aleph_0 = \aleph_0, \quad \aleph_0 \cdot \aleph_0 = \aleph_0, \quad \aleph_0^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0} > \aleph_0$$Sumar y multiplicar no lo agrandan… la potencia — que cuenta subconjuntos — sí (teorema de Cantor).
La Clase 1 lo anunció; esta clase lo construye entero en el pizarrón. Referencia del profesor: el Calculus de Apostol.
Dos líneas y una hipótesis — y la suma queda definida para todo \(n\):
En acción: \(\sum_{i=1}^{2} a_i = a_1 + a_2\), \(\;\sum_{i=1}^{3} a_i = (a_1+a_2)+a_3\)… cada caso se apoya en el anterior — una escalera sin último peldaño. Y la inducción funciona precisamente porque \(\mathbb{N}\) está bien ordenado: siempre se sabe «quién sigue» (¿qué fracción sigue de \(\tfrac12\)? — por eso en \(\mathbb{Q}\) no hay inducción).
La suma de unos: \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} 1 = n\) (se toma el 1 exactamente \(n\) veces).
La de Gauss — el niño que emparejó extremos (\(1+10, 2+9, \dots\): cinco parejas de 11 → 55). Y la deducción adulta, por telescópica: de la identidad \(i^2 - (i-1)^2 = 2i - 1\), sumando ambos lados,
$$\underbrace{n^2}_{\text{telescópica}} = 2\sum_{i=1}^{n} i - \underbrace{n}_{\sum 1} \;\;\Longrightarrow\;\; \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$$La suma de cuadrados — por analogía («en parte igual, en parte diferente»): la identidad sube un piso, \(i^3 - (i-1)^3 = 3i^2 - 3i + 1\) (coeficientes del triángulo de Pascal), y el mismo camino da
$$n^3 = 3\sum_{i=1}^{n} i^2 - 3\cdot\frac{n^2+n}{2} + n \;\;\Longrightarrow\;\; \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n^3}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$«A ver si es cierto» — la comprobación del pizarrón, con \(n = 4\): \(\tfrac{64}{3} + 8 + \tfrac{2}{3} = 22 + 8 = 30\), y a mano: \(1 + 4 + 9 + 16 = 30\). ✓ (De tarea: \(\sum i^3\), con \(i^4 - (i-1)^4\). Spoiler para el valiente: da \(\left[\tfrac{n(n+1)}{2}\right]^2\).)
La serie geométrica — ojo, empieza en cero — demostrada pasando \(1-x\) a multiplicar y dejando que la telescópica haga el resto:
$$\sum_{i=0}^{n} x^i = \frac{1 - x^{n+1}}{1 - x} \;\; (x \ne 1), \qquad \text{y si } x = 1: \;\; \sum_{i=0}^{n} 1 = n+1$$Área bajo \(y = x^2\) en \([0, b]\) — el problema de la Clase 1, ahora con \(\Sigma\) en la mano. Los pasos del pizarrón («son los pasos de la tarea»):
Aquí \(b = 2\): el tesoro es \(\tfrac{8}{3} \approx 2.6667\). La fórmula exacta del pizarrón, \(s_n = \tfrac{b^3}{3} - \tfrac{b^3}{2n} + \tfrac{b^3}{6n^2}\), se acerca por abajo; la superior \(S_n = s_n + \tfrac{b^3}{n}\) se acerca por arriba — y la apertura de la pinza, \(S_n - s_n = \tfrac{b^3}{n}\), se hace tan pequeña como quieras. El área no tiene escapatoria.
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1. Usa las propiedades para calcular \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (6k^2 - 2k + 3)\).
Linealidad y las tres fórmulas: $$6\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 2\cdot\frac{n(n+1)}{2} + 3n = n(n+1)(2n+1) - n(n+1) + 3n$$ $$= n(n+1)(2n) + 3n = 2n^2(n+1) + 3n = 2n^3 + 2n^2 + 3n.$$ Comprueba con \(n=2\): \(6(1+4) - 2(1+2) + 6 = 30 - 6 + 6 = 30\), y \(2\cdot 8 + 2\cdot 4 + 6 = 30\). ✓
2. La tarea del profesor: deduce \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} i^3\) con la identidad \(i^4 - (i-1)^4\).
Pascal (fila 1, 4, 6, 4, 1): \(i^4 - (i-1)^4 = 4i^3 - 6i^2 + 4i - 1\). Sumando ambos lados (telescópica a la izquierda, con \(a_0 = 0\)): $$n^4 = 4\sum i^3 - 6\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 4\cdot\frac{n(n+1)}{2} - n.$$ Despejando con paciencia: $$\sum_{i=1}^{n} i^3 = \frac{n^4 + n(n+1)(2n+1) - 2n(n+1) + n}{4} = \frac{n^2(n+1)^2}{4} = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2.$$ ¡El cuadrado de la fórmula de Gauss! Comprueba con \(n=3\): \(1+8+27=36=(6)^2\). ✓
3. Calcula \(\displaystyle\sum_{k=1}^{50}\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)\) sin sumar 50 términos.
Es telescópica con \(a_k = \sqrt{k}\) (aquí \(\sum_{k=1}^{n}(a_{k+1}-a_k) = a_{n+1}-a_1\)): $$\sum_{k=1}^{50}\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right) = \sqrt{51} - \sqrt{1} = \sqrt{51} - 1 \approx 6.1414.$$ Cincuenta términos… colapsados a una resta. La escalera de bomberos otra vez.
4. Con la fórmula de la clase, calcula la suma inferior \(s_4\) para \(y = x^2\) en \([0, 3]\)… y compárala con \(\tfrac{b^3}{3}\).
Con \(b = 3\), \(n = 4\): $$s_4 = \frac{b^3}{3} - \frac{b^3}{2n} + \frac{b^3}{6n^2} = 9 - \frac{27}{8} + \frac{27}{96} = 9 - 3.375 + 0.28125 = 5.90625.$$ Verificación directa: \(s_4 = \tfrac{27}{64}(1 + 4 + 9) = \tfrac{27}{64}\cdot 14 = \tfrac{378}{64} = 5.90625\). ✓ El tesoro es \(\tfrac{27}{3} = 9\): con solo 4 rectángulos aún falta… pero la pinza ya está cerrando.
¿Te perdiste algo? La Clase 2 Interactiva te lleva por las 43 partes al ritmo de la voz del profesor. Y la Clase 1 sigue ahí para el repaso.