La Clase 2 dejó la cuenta a un paso del tesoro; la Clase 3 cierra la pinza — \(A = \tfrac{b^3}{3}\) — y no se detiene ahí: generaliza el método de Arquímedes hasta que del límite de una suma de Riemann nace el símbolo \(\int\), la integral definida… que resulta ser mucho más que un área: la medida del cambio. Y de regalo, sus nueve propiedades.
La clase abre con la biografía del dueño del método — reconstruida por el salón — y termina de cobrar lo que la Clase 2 dejó pendiente. Toca cada capítulo para abrirlo.
Al rey le entregan una corona de oro… ¿pero es de oro puro? Arquímedes de Siracusa descubre en la tina que el volumen desplazado delata al material: si la corona no desplaza lo mismo que un lingote del mismo peso, hay otro metal escondido. ¡Eureka! — «lo he encontrado».
Y una lección aparte del profesor: más que el año, importa la época — su amigo filósofo no sabía fechas, pero ubicaba a Nietzsche «entre la Revolución Francesa y la Mexicana» (1844–1900: exactamente ahí). Arquímedes llega al final de la gran época griega, una generación después de Euclides.
El método de exhaución consiste en aproximar el área que quiero con áreas de figuras que ya conozco — rectángulos: base por altura. El Calculus de Apostol empieza aún más atrás: ¿qué ES un área? (no toda figura admite una — el curso pacta obviarlo).
El pizarrón repite el planteo de la Clase 2 a toda velocidad: partición \(x_k = \tfrac{kb}{n}\), rectángulo k-ésimo \(a_k = \tfrac{b^3}{n^3}k^2\), suma inferior (índices ¡de 1 a n−1!) y superior, y las gemelas quedan listas:
$$s_n = \frac{b^3}{3} - \frac{b^3}{2n} + \frac{b^3}{6n^2} \qquad S_n = \frac{b^3}{3} + \frac{b^3}{2n} + \frac{b^3}{6n^2}$$¿Cómo llegar al área, que no es ni \(s_n\) ni \(S_n\)? Refinar indefinidamente la partición: \(n \to \infty\). Los términos con \(n\) abajo mueren, y la pinza aprieta:
$$\frac{b^3}{3} \;\le\; A \;\le\; \frac{b^3}{3} \quad\Longrightarrow\quad A = \frac{b^3}{3}$$«No le queda de otra — por la tricotomía»: dos números reales cumplen exactamente una de tres (\(<\), \(=\), \(>\)); si \(A\) no puede ser ni menor ni mayor… es igual. 2,200 años después de Arquímedes, la parábola entregó su área.
Una parábola es una victoria; todas las funciones son una teoría. La generalización suelta todas las amarras — y al final del límite aparece el símbolo más famoso de las matemáticas.
La función es \(f(x) = 1 + \operatorname{sen} x\) en \([0, 2\pi]\) — el valor exacto de su integral es \(2\pi \approx 6.2832\) (el seno se compensa; sobrevive el 1). Juega con TODO lo que la generalización liberó: cuántos pedazos, de qué tamaño, y qué punto \(c_k\) usa cada rectángulo.
Observa la robustez que demostró la clase: cambies lo que cambies — izquierda, derecha, al azar, pedazos parejos o desiguales — al subir \(n\) (y morir la norma), la suma aterriza en \(2\pi\). Y el rectángulo del promedio ilustra el teorema del valor medio: altura \(\bar{f} = 1\), base \(2\pi\)… área exactamente igual a la integral, con \(f(c) = 1\) justo donde el seno vale cero.
¿Calcular cada integral con particiones y límites? «Complicadísimo». El plan — constructivista, como Piaget manda — es conocerla primero: si la integral es en el fondo una suma, debe heredar las propiedades de \(\Sigma\)… y así es. (Las primeras siete son «rutinarias»; la 8 y la 9, «las buenas».)
El profesor prefiere «valor intermedio»: la \(c\) no está a la mitad — y puede haber varias. La imagen que no se olvida: México→Acapulco, 400 km en 5 horas — puedes parar y puedes ir a 120… pero al menos un instante el velocímetro marcó exactamente 80.
Sin calificaciones ni presiones: esto es solo para ti. Elige una respuesta y recibe retroalimentación al instante.
1. Con el resultado de la clase, calcula el área bajo \(y = x^2\) en \([0, 3]\)… y comprueba que la pinza con \(n = 100\) la encajona.
El tesoro con \(b = 3\): \(A = \tfrac{27}{3} = 9\). Las gemelas con \(n = 100\): $$s_{100} = 9 - \frac{27}{200} + \frac{27}{60000} = 9 - 0.135 + 0.00045 = 8.86545$$ $$S_{100} = 9 + 0.135 + 0.00045 = 9.13545$$ En efecto: \(8.86545 \le 9 \le 9.13545\) — y la apertura \(S_{100} - s_{100} = \tfrac{27}{100} = 0.27\) muere al crecer \(n\). ✓
2. Sin calcularla: usa el min-max para acotar \(\displaystyle\int_1^3 \frac{1}{x}\,dx\).
\(f(x) = \tfrac1x\) es decreciente en \([1,3]\): máximo \(M = f(1) = 1\), mínimo \(m = f(3) = \tfrac13\), base \(b - a = 2\): $$\frac{2}{3} \;\le\; \int_1^3 \frac{1}{x}\,dx \;\le\; 2.$$ (El valor verdadero es \(\ln 3 \approx 1.0986\) — cae dentro, como debía. Dos rectángulos y cero particiones.) ✓
3. Encuentra el valor promedio de \(f(x) = x^2\) en \([0, 3]\)… y la \(c\) que promete el teorema del valor medio.
Con el área del ejercicio 1: $$\bar{f} = \frac{1}{3-0}\int_0^3 x^2\,dx = \frac{9}{3} = 3.$$ La \(c\): \(f(c) = 3 \Rightarrow c^2 = 3 \Rightarrow c = \sqrt{3} \approx 1.732 \in [0,3]\). ✓ Nota del profesor hecha número: la mitad del intervalo es \(1.5\)… y la \(c\) NO está ahí. «Intermedio», no «medio».
4. Si \(\displaystyle\int_0^5 f = 7\) y \(\displaystyle\int_0^2 f = 3\), calcula \(\displaystyle\int_2^5 f\) y \(\displaystyle\int_5^2 f\).
Pegar intervalos (propiedad 6): \(\int_0^5 = \int_0^2 + \int_2^5 \Rightarrow \int_2^5 f = 7 - 3 = 4\). Y el signo (propiedad 5): \(\int_5^2 f = -\int_2^5 f = -4\). ✓ Dos propiedades, cero particiones.
5. ¿Positiva, negativa o cero? Decide el signo de \(\displaystyle\int_0^{3\pi/2} \operatorname{sen} x\,dx\) SOLO con áreas.
La loma de \([0, \pi]\) aporta \(+2\) (el área exacta de una loma del seno). El medio valle de \([\pi, \tfrac{3\pi}{2}]\) aporta \(-1\) (la mitad del valle completo, que vale \(-2\)). Total: $$\int_0^{3\pi/2} \operatorname{sen} x\,dx = 2 - 1 = +1 > 0.$$ Positiva… aunque la función sea negativa en todo \((\pi, \tfrac{3\pi}{2})\): la dominancia de ida no tiene regreso. ✓
¿Te perdiste algo? La Clase 3 Interactiva te lleva por las 42 partes al ritmo de la voz del profesor. La Clase 2 y la Clase 1 siguen ahí para el repaso.