Laboratorio 1 · Cálculo de una variable

Sumas e integral de Riemann

Las armas vienen de las Clases 2 y 3 — el símbolo \(\Sigma\) y la definición de la integral — y la Clase 4 lo resuelve casi completo en vivo: Gauss desplazado, la linealidad, la telescópica del factorial, la geométrica con su demostración… y el «ejercicio difícil» que hace nacer la primera serie del curso. Cada ejercicio enlaza a la parte exacta donde el profesor lo trabaja.

Los ejercicios

Ejercicio por ejercicio, con su parte

El enunciado fiel, y debajo el botón a la parte de la clase interactiva donde se resuelve. Lo honesto: primero inténtalo en tu cuaderno; el botón es para comparar.

1Calcular

a $$\sum_{i=101}^{200} i$$ ▶ Clase 4 · Parte 17 — Σ de 101 a 200
📷 La solución en limpio — ábrela solo después de intentarlo
📸 La clase, en vivoLa solución 1-A en limpio: la suma por diferencia, 20,100 − 5,050 = 15,050
La solución 1-A en limpio: la suma por diferencia, 20,100 − 5,050 = 15,050
rueda o pellizco: zoom · arrastra: moverte · doble clic: restablecer
b $$\sum_{j=2}^{30}\left(6j + \frac{4j^{2}}{3}\right)$$ ▶ Clase 4 · Parte 18 — linealidad y las dos sumas ▶ Parte 19 — ¿y para i⁵?
📷 La solución en limpio — ábrela solo después de intentarlo
📸 La clase, en vivoLa solución 1-B en limpio: linealidad y las dos fórmulas, 6[464] + ⁴⁄₃[9454]
La solución 1-B en limpio: linealidad y las dos fórmulas, 6[464] + ⁴⁄₃[9454]
rueda o pellizco: zoom · arrastra: moverte · doble clic: restablecer
c $$\sum_{k=1}^{n}\frac{k+1}{(k+2)!}$$ ▶ Clase 4 · Parte 20 — completar el factorial ▶ Parte 20 — la telescópica del ½
📷 La solución en limpio — ábrela solo después de intentarlo
📸 La clase, en vivoLa solución 1-C en limpio: completar, «ya es telescópica»… y ½ − 1/(n+2)!
La solución 1-C en limpio: completar, «ya es telescópica»… y ½ − 1/(n+2)!
rueda o pellizco: zoom · arrastra: moverte · doble clic: restablecer
d $$\sum_{n=0}^{m} q^{n} \;=\; \frac{1-q^{m+1}}{1-q}\,, \qquad q \neq 1$$ ▶ Clase 4 · Parte 21 — la geométrica regresa ▶ Parte 21 — (1−q)·Σ: la demostración
📷 La solución en limpio — ábrela solo después de intentarlo
📸 La clase, en vivoLa solución 1-D en limpio: la cadena de ⟺, la telescópica… y 1 − q^(m+1) enmarcado
La solución 1-D en limpio: la cadena de ⟺, la telescópica… y 1 − q^(m+1) enmarcado
rueda o pellizco: zoom · arrastra: moverte · doble clic: restablecer

2Utilizando sumas de Riemann, obtener la integral

a $$\int_{0}^{b}\left(x^{2} + 3b\right)dx\,, \qquad b > 0$$
b $$\int_{0}^{b} 2x^{3}\,dx$$

✍️ Este es para tu cuaderno: no se resolvió en clase. El método es el de la exhaución de la Clase 2 hecho general con la definición de la Clase 3 — partición uniforme, \(c_k\) a la derecha, las \(\Sigma\) del formulario, y el límite.

▶ Clase 3 · Parte 15 — la definición… y nace ∫ Σ del formulario de la Clase 2

3La integral como límite de sumas de Riemann

Escribe la integral de Riemann \(\displaystyle\int_{0}^{1}(1+x)^{2}\,dx\) como el límite de sumas de Riemann \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} f(c_k)\,(x_k - x_{k-1})\), en donde

$$P = \left\{\, 0 = \tfrac{0}{n} \lt \tfrac{1}{n} \lt \cdots \lt \tfrac{n-1}{n} \lt \tfrac{n}{n} = 1 \,\right\}, \qquad c_k = \tfrac{k}{n}\,, \qquad f(x) = (1+x)^{2}.$$
▶ Clase 4 · Parte 22 — Problema 3: al revés

El Laboratorio 2 sigue ▸

Integral de Riemann y sus propiedades: el mín–máx, \(f(c)=g(c)\), la tangente del Problema 5 y los incisos de Leibniz. Ir al Laboratorio 2 · o vuelve a la Clase 4, donde este laboratorio se resuelve.