Clase 5 · La recta tangente

Formulario · para regresar rápido

Las fórmulas de la clase, a la mano

La recta y su tangente, la diferencial y la regla de Leibniz: lo que vas a estar consultando al resolver.

La recta (punto–pendiente)

$$m = \tan\theta$$ $$y - y_1 = m\,(x - x_1)$$

θ = ángulo de inclinación, desde el eje x positivo.

La tangente a una curva

$$y - y_1 = f'(x_1)\,(x - x_1)$$

El punto lo da f; la pendiente, la derivada en el punto.

La diferencial (aproximación lineal)

$$f(x_1 + h) \;\approx\; f(x_1) + f'(x_1)\,h$$

Buena cuando h es chica; exacta en h = 0.

TFC parte 1 · y la variable abajo

$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$$ $$\frac{d}{dx}\int_x^a f(t)\,dt = -f(x)$$

Regla de Leibniz (extensión del TFC)

$$\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt$$ $$= f\big(v(x)\big)\,v'(x) - f\big(u(x)\big)\,u'(x)$$

Los reflejos del ojo entrenado

$$\int_{c_1}^{c_2}(\cdots)\,dt = \text{número} \;\Rightarrow\; \frac{d}{dx} = 0$$ $$\frac{d}{dx}\,G(x^2) = 2x\,f(x^2),\quad G(x)=\int_a^x f$$

Mín–máx (el del laboratorio)

$$m\,(b-a) \;\le\; \int_a^b f \;\le\; M\,(b-a)$$

Valor medio para integrales

$$\exists\, c \in [a,b]: \;\; \int_a^b h = h(c)\,(b-a)$$

Con h = f − g y ∫h = 0: f(c) = g(c).

El mapa de la sesión

Del laboratorio… a Leibniz

📖 Para profundizar → Thomas §2.1 · Tasas de cambio y tangentes a curvas p. 39

La clase abre repasando el laboratorio 2 con las armas de la Clase 4 y cierra con un teorema nuevo. Cuatro capítulos:

El laboratorio rinde. El mín–máx acota $2 \le \int_{-1}^{1}\sqrt{1+x^2+x^4}\,dx \le 2\sqrt{3}$ (con $m=1$, $M=\sqrt{3}$, $b-a=2$), y el valor medio para integrales demuestra que si $\int_a^b (f-g) = 0$ con $f, g$ continuas, entonces $f(c) = g(c)$ para alguna $c$ — vía $h = f - g$ y un producto que vale cero. De paso, la regla de higiene: $\iff$ significa «equivale», nunca «igual».
La recta tangente. ¿Qué es una recta? «El lugar geométrico de los puntos tales que, tomados dos a dos, tienen la misma pendiente». Del triángulo de Descartes: $m = \tan\theta = \frac{y-y_1}{x-x_1}$, y despejando, $y - y_1 = m(x-x_1)$. Para la curva $f(x) = \int_{\pi/2}^{x} x\,\frac{\operatorname{sen} t}{t}\,dt$: el punto es $(\pi/2, 0)$, la derivada — producto + TFC — es $f'(x) = \operatorname{sen} x + \int_{\pi/2}^{x}\frac{\operatorname{sen} t}{t}\,dt$, y en $\pi/2$ vale 1. La tangente: $y = x - \pi/2$.
La diferencial y el ejercicio 6. La tangente aproxima el cambio: $f(\pi/2 + 0.1) \approx 0.1$ (valor real: $0.10295\ldots$ — tres milésimas de error sin integrar nada). Y en «encuentra $f$ y $a$»: evaluar en $x = a$ mata la integral ($a = 81$), derivar ambos lados la resucita ($f(x) = \tfrac{3}{2}\sqrt{x}$)… y la comprobación cierra con $3\sqrt{81} = 27$ ✓.
El teorema de Leibniz. Partir la integral en una constante $c$, regla de la cadena en cada tramo, y voltear límites (el signo menos): $\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)} f = f(v(x))v'(x) - f(u(x))u'(x)$. El TFC queda adentro como caso particular ($u$ constante, $v = x$). Los incisos del laboratorio y la tarea 3 lo estrenan — hasta la joya final: una suma de integrales que siempre vale $\pi/2$.

Laboratorio interactivo · la estrella

Secante → tangente, en vivo

📖 Para profundizar → Thomas §3.1 · La derivada en un punto p. 102

La curva es la de la clase: $f(x) = x\int_{\pi/2}^{x}\frac{\operatorname{sen} t}{t}\,dt$, integrada numéricamente en tu navegador. Mueve la $h$: la secante por $P(\pi/2, 0)$ y $Q(\pi/2+h,\, f(\pi/2+h))$ gira hasta convertirse en la tangente $y = x - \pi/2$.

h = 1.20 mostrar la tangente $y = x - \pi/2$

pendiente de la secante: — pendiente de la tangente: 1 f(π/2 + h) real: — con la tangente: —

Leibniz, en vivo

El inciso D del laboratorio: $F(x) = \int_{-2x}^{2x}\sqrt{1+t^4}\,dt$. El navegador deriva numéricamente (cociente de incrementos con $h$ diminuta)… y la fórmula de Leibniz $4\sqrt{1+16x^4}$ predice el resultado exacto. Compara.

x = 1.00

F′(x) numérica: — 4√(1+16x⁴) de Leibniz: — F(x) (el área): —

La constante escondida: π/2

El ejercicio 3 de la tarea: $f(x) = \int_0^{1/x}\frac{dt}{t^2+1} + \int_0^{x}\frac{dt}{t^2+1}$. Las dos integrales cambian con $x$… pero lo que una gana, la otra lo suelta. Muévele: la suma no se despeina.

x = 1.00

$\int_0^{1/x}$: — $\int_0^{x}$: — suma: — π/2 = 1.570796…

La extensión del TFC

El teorema de Leibniz, en tres movimientos

📖 Para profundizar → Thomas §5 · Regla de Leibniz (ejercicios adicionales y avanzados) p. 306

Hipótesis: $u(x)$ y $v(x)$ diferenciables, $f$ continua en $[a,b]$. La demostración del pizarrón usa tres herramientas viejas:

Partir la integral en una constante $c$ (aditiva del intervalo): $$\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt = \int_{u(x)}^{c} f(t)\,dt + \int_{c}^{v(x)} f(t)\,dt$$
El límite de arriba, con cadena. Sea $v = v(x)$: $$\frac{d}{dx}\int_{c}^{v(x)} f(t)\,dt = \underbrace{\frac{d}{dv}\int_{c}^{v} f(t)\,dt}_{f(v)\;\text{(TFC)}}\cdot\, v'(x) = f\big(v(x)\big)\,v'(x)$$
El de abajo: voltear (signo −) y cadena. $$\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{c} f(t)\,dt = -\frac{d}{dx}\int_{c}^{u(x)} f(t)\,dt = -f\big(u(x)\big)\,u'(x)$$ Sumando: $$\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt = f\big(v(x)\big)\,v'(x) - f\big(u(x)\big)\,u'(x)$$ Y el TFC de la Clase 4 queda adentro: con $u$ constante y $v(x)=x$… sale $f(x)$.

Laboratorio y tarea · el TFC rinde cuentas

Los incisos, uno a uno

El ejercicio 7 del laboratorio y la tarea 3 estrenan el teorema. El reflejo que entrena la sesión: ¿dónde vive la $x$?

A · variable abajo

$F(x) = \int_x^1 \sqrt{1+t^4}\,dt$. Voltear límites (−) y TFC — o Leibniz directo, donde $\sqrt{2}$ muere multiplicado por $(1)' = 0$:

$$F'(x) = -\sqrt{1+x^4}$$

B · integral al cuadrado

$F(x) = \left(\int_0^x \sqrt{1+s^4}\,ds\right)^2$. Cadena de afuera hacia adentro:

$$F'(x) = 2\left(\int_0^x \sqrt{1+s^4}\,ds\right)\sqrt{1+x^4}$$

C · límites fijos

$F(x) = \int_0^1 x^2\sqrt{1+t^4}\,dt$. La $x^2$ sale; la integral que queda es un NÚMERO:

$$F'(x) = 2x\int_0^1 \sqrt{1+t^4}\,dt$$

D · dos límites móviles

$F(x) = \int_{-2x}^{2x}\sqrt{1+t^4}\,dt$. $(\pm 2x)^4 = 16x^4$, y el doble menos SUMA:

$$F'(x) = 4\sqrt{1+16x^4}$$

Tarea · c, d y e

$G = \int_{-1}^{1}\sqrt{1+t^4}\,dt$ es constante → $G' = 0$. Con $x^2$ adentro → $2x\cdot(\text{número})$. Y de $x$ a $x^3$:

$$G'(x) = 3x^2\sqrt{1+x^{12}} - \sqrt{1+x^4}$$

Tarea 4 · la regla en limpio

$G(x) = \int_a^x f(t)\,dt$:

$$\frac{dG}{dx} = f(x),\qquad G(x^2) = \int_a^{x^2}\! f(t)\,dt,\qquad \frac{d\,G(x^2)}{dx} = 2x\,f(x^2)$$

📸 La clase, en vivo

El pizarrón de la Clase 5

Las quince fotos de la sesión — pizarrón y apuntes del profesor. Toca cualquiera para ampliarla.

Ponte a prueba

¿Qué tan clara quedó la clase?

1 · En la tangente a una curva, ¿quién es la pendiente $m$?

2 · Para $f(x) = \int_{\pi/2}^{x} x\,\frac{\operatorname{sen} t}{t}\,dt$, ¿cuánto vale $f(\pi/2)$?

3 · Con la tangente $y = x - \pi/2$, ¿qué estimación da para $f(\pi/2 + 0.1)$?

4 · ¿Qué dice la regla de Leibniz para $\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt$?

5 · $G(x) = \int_{-1}^{1}\sqrt{1+t^4}\,dt$. ¿Cuánto vale $G'(x)$?

6 · ¿Por qué el término del límite inferior lleva signo menos en Leibniz?

7 · Si $G(x) = \int_a^x f(t)\,dt$, ¿cuánto vale $\frac{d}{dx}\,G(x^2)$?

Para tu cuaderno

Practica: tangentes, estimaciones y Leibniz

1 · Encuentra la recta tangente a $f(x) = \int_2^x \frac{dt}{t}$ en $x = 2$.

El punto: $f(2) = \int_2^2 = 0$ → $P(2, 0)$.

La pendiente: por el TFC, $f'(x) = \frac{1}{x}$, así que $f'(2) = \frac{1}{2}$.

$$y - 0 = \tfrac{1}{2}(x - 2) \quad\Longleftrightarrow\quad y = \frac{x-2}{2}$$

2 · Con la tangente del ejercicio 1, estima $f(2.1)$… y compara con el valor exacto $\ln(2.1/2)$.

Estimación: $y = \frac{2.1 - 2}{2} = 0.05$.

Exacto: $f(x) = \ln\frac{x}{2}$ (la integral de $1/t$), así que $f(2.1) = \ln 1.05 = 0.04879\ldots$

Error: $0.0012$ — la diferencial vale cada centavo cuando $h = 0.1$.

3 · Encuentra $f$ y $a$ tales que $\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt = x^2 - 2x + 1$.

La función (derivando ambos lados, TFC): $f(x) = 2x - 2$.

La constante (evaluando en $x = a$): $0 = a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$ → $a = 1$.

Comprobación: $\int_1^x (2t-2)\,dt = \big[t^2 - 2t\big]_1^x = (x^2-2x) - (1-2) = x^2 - 2x + 1$ ✓

4 · Deriva $G(x) = \displaystyle\int_{x^2}^{x^3} \frac{dt}{t}$ para $x > 0$… y simplifica.

Leibniz:

$$G'(x) = \frac{1}{x^3}\cdot 3x^2 - \frac{1}{x^2}\cdot 2x = \frac{3}{x} - \frac{2}{x} = \frac{1}{x}$$

El porqué escondido: $G(x) = \ln x^3 - \ln x^2 = \ln x$… y $(\ln x)' = \frac{1}{x}$. Cuadra por los dos caminos.

5 · (Reto) Demuestra que $g(x) = \displaystyle\int_0^{\operatorname{sen} x} \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} - x$ es constante en $(-\pi/2, \pi/2)$… y encuentra la constante.

Derivar (Leibniz con $v(x) = \operatorname{sen} x$):

$$g'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-\operatorname{sen}^2 x}}\cdot\cos x - 1 = \frac{\cos x}{\cos x} - 1 = 0$$

(en $(-\pi/2, \pi/2)$, $\cos x > 0$, así que $\sqrt{1-\operatorname{sen}^2 x} = \cos x$).

La constante: $g(0) = \int_0^0 - 0 = 0$. Constante = 0… es decir: $\int_0^{\operatorname{sen} x}\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} = x$ — el mismo espíritu del $\pi/2$ de la tarea.

En resumen

Lo que debes llevarte de la Clase 5

La tangente por fin es un objeto formal: la recta $y - y_1 = f'(x_1)(x - x_1)$, con la pendiente puesta por la derivada. Para llegar ahí hubo que definir la recta como Descartes (lugar geométrico, $m = \tan\theta$, un triángulo y un despeje) y del problema 5 salió $y = x - \pi/2$ — con $f(\pi/2) = 0$ por límites iguales y $f'(\pi/2) = 1$ por producto + TFC. La diferencial estimó una integral no elemental con error de milésimas, el ejercicio 6 enseñó el combo evaluar-en-$a$ / derivar-ambos-lados ($a = 81$, $f = \tfrac{3}{2}\sqrt{x}$)… y Leibniz extendió el TFC: $f(v(x))v'(x) - f(u(x))u'(x)$, con el teorema viejo viviendo adentro como caso particular. El reflejo de la clase: ¿dónde vive la $x$?

¿Te perdiste algo? La Clase 5 Interactiva te lleva por las 30 partes al ritmo de la voz del profesor. La Clase 4, la Clase 3, la Clase 2 y la Clase 1 siguen ahí para el repaso.

Lo que abre la próxima clase

«Ya podemos calcular muchas integrales… pero no todas» — ¿la integral de $\tan x$? Llegan los métodos de integración: sustitución, por partes y fracciones parciales. «Casi todas las algebraicas caen con sustitución»… por ahí va a empezar.