Laboratorio 9 · Integración por partes e integrales trigonométricas

Los ejercicios

Ejercicio por ejercicio, con su parte

El enunciado fiel, y debajo el botón a la parte de la clase interactiva donde se trabaja — o, si quedó pendiente, la parte donde vive la herramienta. Lo honesto: primero inténtalo en tu cuaderno.

1Una integral dentro de otra

Demuestra que

$$\int_{a}^{b}\left(\int_{x}^{b} f(t)\,dt\right)dx = \int_{a}^{b} (x-a)\,f(x)\,dx.$$

✍️ Para tu cuaderno — pendiente. Es por partes, con una elección fina. Toma $u = \int_x^b f(t)\,dt$ — es función de $x$, y por el TFC $du = -f(x)\,dx$: el límite móvil está abajo, de ahí el signo — y $dv = dx$. El detalle: como antiderivada de $dx$ puedes tomar $v = x - a$ (cualquier constante sirve, y esta conviene). Así $uv$ se anula en los dos extremos — en $x = b$ porque $u = 0$, en $x = a$ porque $v = 0$ — y queda $-\int v\,du = \int_a^b (x-a)f(x)\,dx$. Otra lectura: la izquierda integra $f$ sobre el triángulo $a \le x \le t \le b$, y cambiar el orden de integración da la derecha; ese camino se construye más adelante, con varias variables.

▶ Clase 13 · Parte 6 — la fórmula: ∫u dv = uv − ∫v du, también entre a y b ▶ Clase 11 · Parte 4 — regla de Leibniz: derivar una integral con límite variable ▶ Clase 13 · Parte 7 — du, v = x… y la constante que no se pone (aquí sí conviene elegirla) 📖 Para profundizar → Thomas §8.1 · integrales definidas por partes p. 440

2La integral de la inversa

a) Sea $f$ diferenciable e invertible. Demuestra que

$$\int f^{-1}(x)\,dx = x\,f^{-1}(x) - \int f(y)\,dy, \qquad \text{con } y = f^{-1}(x).$$

b) Utilizando el inciso anterior, determina: (i) $\displaystyle\int \operatorname{arccos}(x)\,dx$, (ii) $\displaystyle\int \log_{2}(x)\,dx$.

✍️ Resuelto en clase — la Clase 17 demuestra (a) en la Parte 2 y la usa con (i) y (ii) en las Partes 5 y 6; la Clase 18 la aplica otra vez a $\operatorname{arcsen}x$ (Parte 10). (a) Con $u = f^{-1}(x)$, $dv = dx$ sale $x\,f^{-1}(x) - \int x\,(f^{-1})'(x)\,dx$. En la integral que sobra cambia $y = f^{-1}(x)$: $x = f(y)$, $dx = f'(y)\,dy$ y $(f^{-1})'(x) = 1/f'(y)$ — la derivada de la inversa —, así que el integrando se reduce a $f(y)\,dy$. Es la misma identidad que el ejercicio 4 del Laboratorio 5 obtuvo con áreas. (b)(i) con $f(y) = \cos y$: $x\operatorname{arccos}x - \operatorname{sen}y = x\operatorname{arccos}x - \sqrt{1-x^{2}} + C$. (ii) con $f(y) = 2^{y}$: $x\log_{2}x - \dfrac{2^{y}}{\ln 2} = x\log_{2}x - \dfrac{x}{\ln 2} + C$.

▶ Clase 17 · Parte 2 — (a) la demostración: y = f⁻¹(x) ⟺ x = f(y), y por partes ▶ Clase 17 · Parte 4 — «es el Laboratorio 9, pregunta 2, inciso (a)»: la fórmula con ∫tan⁻¹x ▶ Clase 17 · Parte 5 — (b)(i) ∫arccos x con la fórmula ▶ Clase 17 · Parte 6 — (b)(ii) ∫log₂ x: cambio de base y x = eʸ ▶ Clase 18 · Parte 10 — la fórmula otra vez, con arcsen x (Tarea 6, 5(i)) ▶ Clase 13 · Parte 6 — la fórmula de integración por partes ▶ Clase 7 · Parte 9 — la derivada de la inversa ▶ Clase 9 · Parte 7 — arco coseno… y arco tangente ▶ Clase 13 · Parte 5 — ∫aˣ dx = aˣ/ln a 🧪 Laboratorio 5 · ejercicio 4 — la integral de f⁻¹, con las regiones R₁ y R₂ 📖 Para profundizar → Thomas §8.1 · integración de funciones inversas (ejercicios 65–70) p. 443

3La fórmula de reducción de ∫tanⁿx

Demuestra la siguiente fórmula de reducción de grado:

$$\int \tan^{n}(x)\,dx = \begin{cases} \ln|\sec(x)| + C, & n = 1,\\[6pt] \dfrac{1}{n-1}\tan^{n-1}(x) - \displaystyle\int \tan^{n-2}(x)\,dx, & n = 2, 3, \dots \end{cases} \qquad \text{donde } C \in \mathbb{R}.$$

▶ Clase 17 · Parte 14 — el problema, retomado: «había quedado pendiente» ▶ Clase 17 · Parte 14 — al pasar en limpio: la fórmula de reducción, demostrada ▶ Clase 17 · Parte 14 — la ruta del laboratorio: tan² = sec² − 1 y u = tan x ▶ Clase 13 · Parte 16 — el enunciado: dos casos, y la integral que baja de dos en dos ▶ Clase 13 · Parte 17 — el caso n = 1: ∫tan x = ln|sec x| ▶ Clase 13 · Parte 18 — intentos 1 y 2… y la identidad tan² = sec² − 1 ▶ Clase 13 · Parte 19 — el tercer intento y la sustitución u = tan x ▶ Clase 13 · Parte 19 — la pista, plegada: ábrela solo después de intentarlo

✍️ Resuelto en clase — la Clase 13 lo abre (Partes 16–19) y la Clase 17 lo cierra (Parte 14). El caso $n = 1$: con $u = \cos x$, $\int\tan x\,dx = -\int\frac{du}{u} = \ln|\sec x| + C$. Para $n \ge 2$ la Clase 13 dejó dos hilos, que la Clase 17 retoma: la identidad $\tan^{2}x = \sec^{2}x - 1$, protagonista de los intentos, y la lección de los fracasos — «$v$ no debe traer $x$». La meta lo dice casi todo: $\tfrac{1}{n-1}\tan^{n-1}x$ es lo que sale de integrar una potencia. Piénsalo con eso antes de abrir lo plegado.

La demostración completa — solo después de intentarlo

Separa una $\tan^{2}$ y úsala con la identidad:

$$\tan^{n}x = \tan^{n-2}x\,\tan^{2}x = \tan^{n-2}x\,(\sec^{2}x - 1) = \tan^{n-2}x\,\sec^{2}x - \tan^{n-2}x.$$

La primera pieza no es por partes: es una sustitución. Con $u = \tan x$, $du = \sec^{2}x\,dx$,

$$\int \tan^{n-2}x\,\sec^{2}x\,dx = \int u^{n-2}\,du = \frac{u^{n-1}}{n-1} = \frac{\tan^{n-1}x}{n-1},$$

y la segunda pieza es la integral con exponente $n-2$. Es el mismo camino que la Parte 19 dejó en $u$: $\int\frac{u^{n}}{1+u^{2}}\,du$ con $u^{n} = u^{n-2}(1+u^{2}) - u^{n-2}$. Cada aplicación baja el exponente en $2$: si $n$ es par termina en $\int dx = x$; si es impar, en $\ln|\sec x|$. Para comparar: $\int\tan^{2}x\,dx = \tan x - x + C$, $\int\tan^{3}x\,dx = \tfrac12\tan^{2}x - \ln|\sec x| + C$.

📖 Para profundizar → Thomas §8.2 · potencias de tan x y sec x (Ejemplo 5: ∫tan⁴x dx) p. 446 📖 Para profundizar → Thomas §8.1 · fórmulas de reducción (ejercicios 61–64) p. 443

4u² f″ con tres datos

Sea $f$ una función dos veces diferenciable tal que $f(1) = 1$, $f'(1) = 1$ y $\displaystyle\int_{0}^{1} f(u)\,du = 4$. Calcula el valor de

$$I = \int_{0}^{1} u^{2} f''(u)\,du.$$

✍️ Para tu cuaderno — pendiente. Por partes dos veces, evaluando los extremos en cada paso: lo que sabes integrar es $f''$, así que $dv = f''(u)\,du$, $v = f'$, y la parte que se deriva es $u^{2}$ (aquí la $u$ del enunciado es la variable; no la confundas con la $u$ de la fórmula). $I = \bigl[u^{2}f'(u)\bigr]_0^1 - 2\int_0^1 u\,f'(u)\,du = f'(1) - 2\Bigl(\bigl[u\,f(u)\bigr]_0^1 - \int_0^1 f\Bigr) = 1 - 2(1 - 4) = 7$. Los tres datos del enunciado son exactamente los tres números que aparecen. Con la tabla también sale: columna que se deriva $u^{2}, 2u, 2, 0$; columna que se integra $f'', f', f, \int f$ — sin conocer $f$.

▶ Clase 13 · Parte 6 — la fórmula, con los extremos a y b ▶ Clase 13 · Parte 11 — el exponente baja, los signos alternan ▶ Clase 13 · Parte 12 — la tabla: derivar de un lado, integrar del otro 📖 Para profundizar → Thomas §8.1 · integrales definidas por partes e integración tabular p. 440

5Una relación de recurrencia

Sea $\displaystyle I_n = \int_{0}^{1} u^{n}\operatorname{sen}(\pi u)\,du$, donde $n \in \mathbb{N}\cup\{0\}$. Muestra que se satisface la relación de recurrencia

$$I_{n+2} = \frac{1}{\pi} - \frac{(n+1)(n+2)}{\pi^{2}}\,I_n$$

y calcula el valor de $\displaystyle\int_{0}^{1} u^{4}\operatorname{sen}(\pi u)\,du$.

✍️ Para tu cuaderno — pendiente. Es $\int x\operatorname{sen}x$ con exponente: la parte que se deriva es $u^{n+2}$ y $dv = \operatorname{sen}(\pi u)\,du$, $v = -\cos(\pi u)/\pi$. El término de frontera vale $1/\pi$ (en $1$, $\cos\pi = -1$; en $0$ la potencia se anula) y queda $+\frac{n+2}{\pi}\int_0^1 u^{n+1}\cos(\pi u)\,du$. Otra vez por partes: la frontera con $\operatorname{sen}(\pi u)$ es $0$ en los dos extremos y sale $-\frac{n+1}{\pi}\int_0^1 u^{n}\operatorname{sen}(\pi u)\,du$. Con $I_0 = 2/\pi$: $I_2 = \dfrac1\pi - \dfrac{4}{\pi^{3}}$ e $I_4 = \dfrac1\pi - \dfrac{12}{\pi^{3}} + \dfrac{48}{\pi^{5}} \approx 0.0881$.

▶ Clase 13 · Parte 14 — ∫x sen x dx: la cíclica va en dv ▶ Clase 13 · Parte 15 — la tabla cíclica ▶ Clase 13 · Parte 9 — «recursiva»: reducir el orden 📖 Para profundizar → Thomas §8.1 · Ejemplo 5: una fórmula de reducción por partes p. 439

6Diecisiete integrales

Resuelve las siguientes integrales. Cada tarjeta guarda la pista y la respuesta plegadas: primero el cuaderno.

a) $\displaystyle\int x^{n}\ln(x)\,dx$, para $n \gt 0$.

pista y respuesta

$u = \ln x$, $dv = x^{n}dx$: la fórmula general de la Parte 9. $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\ln x - \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)^{2}} + C$.

b) $\displaystyle\int [\ln(x)]^{3}\,dx$.

pista y respuesta

$u = (\ln x)^{3}$, $dv = dx$; tres veces por partes, cada vez baja una potencia del logaritmo. $x(\ln x)^{3} - 3x(\ln x)^{2} + 6x\ln x - 6x + C$.

c) $\displaystyle\int_{-\pi/3}^{\pi/4} x\sec^{2}(x)\,dx$.

pista y respuesta

$dv = \sec^{2}x\,dx$ ($v = \tan x$), $u = x$; luego $\int\tan x = -\ln|\cos x|$. $\bigl[x\tan x + \ln|\cos x|\bigr]_{-\pi/3}^{\pi/4} = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{\sqrt3} + \dfrac12\ln 2 \approx -0.682$.

d) $\displaystyle\int x\,3^{x}\,dx$.

pista y respuesta

La exponencial va en $dv$: $v = 3^{x}/\ln 3$ (Parte 5). $3^{x}\Bigl(\dfrac{x}{\ln 3} - \dfrac{1}{(\ln 3)^{2}}\Bigr) + C$.

e) $\displaystyle\int \operatorname{arcsen}(3x)\,dx$.

pista y respuesta

Como $\int\ln x$: $u = \operatorname{arcsen}3x$, $dv = dx$; $du = \dfrac{3\,dx}{\sqrt{1-9x^{2}}}$ y la integral que queda es una sustitución $w = 1 - 9x^{2}$. $x\operatorname{arcsen}(3x) + \tfrac13\sqrt{1-9x^{2}} + C$.

f) $\displaystyle\int e^{2\theta}\operatorname{sen}(3\theta)\,d\theta$.

pista y respuesta

Cíclica: dos veces por partes y la integral reaparece; despéjala. $\dfrac{e^{2\theta}\bigl(2\operatorname{sen}3\theta - 3\cos 3\theta\bigr)}{13} + C$.

g) $\displaystyle\int \operatorname{sen}(\ln(x))\,dx$.

pista y respuesta

$u = \operatorname{sen}(\ln x)$, $dv = dx$, dos veces; la original reaparece con signo menos. (O antes $t = \ln x$, $x = e^{t}$: es la familia de (f).) $\dfrac{x}{2}\bigl(\operatorname{sen}(\ln x) - \cos(\ln x)\bigr) + C$.

h) $\displaystyle\int e^{\sqrt{3x+9}}\,dx$.

pista y respuesta

Primero $t = \sqrt{3x+9}$: $x = (t^{2}-9)/3$, $dx = \tfrac{2t}{3}dt$, y queda $\tfrac23\int t\,e^{t}dt$ (Parte 10). $\tfrac23\bigl(\sqrt{3x+9} - 1\bigr)e^{\sqrt{3x+9}} + C$.

i) $\displaystyle\int \sec^{3}(x)\,dx$.

pista y respuesta

$u = \sec x$, $dv = \sec^{2}x\,dx$; aparece $\int\sec x\tan^{2}x = \int\sec^{3}x - \int\sec x$: la integral reaparece, despéjala, con $\int\sec x = \ln|\sec x + \tan x|$ (Clase 9). $\tfrac12\bigl(\sec x\tan x + \ln|\sec x + \tan x|\bigr) + C$.

j) $\displaystyle\int \cos^{2}(\sqrt{y})\,dy$.

pista y respuesta

$t = \sqrt{y}$, $dy = 2t\,dt$; luego $\int 2t\cos^{2}t\,dt$ con $\cos^{2}t = \tfrac{1+\cos 2t}{2}$ y $\int t\cos 2t$ por partes. $\dfrac{y}{2} + \dfrac{\sqrt{y}\,\operatorname{sen}(2\sqrt{y})}{2} + \dfrac{\cos(2\sqrt{y})}{4} + C$.

k) $\displaystyle\int \operatorname{sen}^{2}(3z)\cos^{2}(3z)\,dz$.

pista y respuesta

$\operatorname{sen}3z\cos 3z = \tfrac12\operatorname{sen}6z$ (ángulo doble) y luego $\operatorname{sen}^{2} = \tfrac{1-\cos}{2}$. $\dfrac{z}{8} - \dfrac{\operatorname{sen}(12z)}{96} + C$.

l) $\displaystyle\int \operatorname{senh}^{3}(x)\cosh^{2}(x)\,dx$.

pista y respuesta

Como una trigonométrica: $\operatorname{senh}^{3} = \operatorname{senh}\,(\cosh^{2} - 1)$, porque $\cosh^{2} - \operatorname{senh}^{2} = 1$, y $u = \cosh x$, $du = \operatorname{senh}x\,dx$. Las hiperbólicas aparecen en el curso solo en el cuadro de clasificación (Clase 7); sus fórmulas están en el Thomas §7.7. $\dfrac{\cosh^{5}x}{5} - \dfrac{\cosh^{3}x}{3} + C$.

m) $\displaystyle\int \tan^{5}(2w)\sec^{4}(2w)\,dw$.

pista y respuesta

Guarda un $\sec^{2}(2w)\,dw$ para $du$ con $u = \tan 2w$ ($du = 2\sec^{2}2w\,dw$) y convierte el otro: $\sec^{2} = 1 + \tan^{2}$. $\dfrac{\tan^{6}(2w)}{12} + \dfrac{\tan^{8}(2w)}{16} + C$.

n) $\displaystyle\int \frac{\operatorname{sen}(x)}{1 + \operatorname{sen}(x)}\,dx$.

pista y respuesta

Multiplica por el conjugado $1 - \operatorname{sen}x$: abajo queda $\cos^{2}x$, arriba $\operatorname{sen}x - \operatorname{sen}^{2}x$, es decir $\sec x\tan x - \tan^{2}x$, con $\tan^{2} = \sec^{2} - 1$. $x + \sec x - \tan x + C$.

ñ) $\displaystyle\int \csc^{3}(x)\,dx$.

pista y respuesta

Gemela de (i): $u = \csc x$, $dv = \csc^{2}x\,dx$, y $\int\csc x = \ln|\csc x - \cot x|$ (Clase 9). $-\tfrac12\csc x\cot x + \tfrac12\ln|\csc x - \cot x| + C$. Resuelta en clase: la Clase 18 la integra por partes en la Parte 1, al pasar en limpio $\int dx/(x^{2}-1)^{2}$ con $x = \sec\theta$.

o) $\displaystyle\int \cot^{5}(y+1)\,dy$.

pista y respuesta

$t = y+1$; $\cot^{5} = \cot^{3}(\csc^{2} - 1)$ y otra vez $\cot\,(\csc^{2} - 1)$: con $u = \cot t$, $du = -\csc^{2}t\,dt$, y al final $\int\cot t = \ln|\operatorname{sen}t|$. $-\tfrac14\cot^{4}(y+1) + \tfrac12\cot^{2}(y+1) + \ln|\operatorname{sen}(y+1)| + C$.

p) $\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \sqrt{\frac{1 - \cos(x)}{2}}\,dx$.

pista y respuesta

Ángulo medio: $\tfrac{1-\cos x}{2} = \operatorname{sen}^{2}\tfrac{x}{2}$, y la raíz de un cuadrado es un valor absoluto; en $[0, 2\pi]$, $\operatorname{sen}\tfrac{x}{2} \ge 0$. $\displaystyle\int_0^{2\pi}\operatorname{sen}\tfrac{x}{2}\,dx = 4$.

▶ Clase 13 · Parte 7 — la regla práctica: u = ln; con la exponencial y las cíclicas, al revés ▶ Clase 13 · Parte 9 — la fórmula general ∫xⁿ ln x dx ▶ Clase 13 · Parte 10 — ∫x eˣ: la exponencial va en dv ▶ Clase 13 · Parte 12 — la tabla ▶ Clase 13 · Parte 15 — la tabla cíclica ▶ Clase 13 · Parte 3 — el ángulo doble: ∫cos² y ∫sen² ▶ Clase 13 · Parte 4 — las inversas trigonométricas y sus integrales ▶ Clase 9 · Parte 13 — el truco de la secante: ∫sec x ▶ Clase 9 · Parte 13 — …y la cosecante: ∫csc x ▶ Clase 9 · Parte 9 — las pitagóricas: 1 + tan² = sec², 1 + cot² = csc² ▶ Clase 12 · Parte 5 — tan² + 1 = sec², deducida ▶ Clase 12 · Parte 4 — el conjugado que sí sirve ▶ Clase 18 · Parte 1 — (ñ) ∫csc³θ por partes: la integral regresa y se despeja ▶ Clase 18 · Parte 14 — (j) y (k): el caso de las dos potencias pares, para practicar 📖 Para profundizar → Thomas §8.1 · Ejemplos 2 y 3: ∫ln x dx y ∫x²eˣ dx p. 438 📖 Para profundizar → Thomas §8.1 · Ejemplo 4: ∫eˣ cos x dx, la integral que reaparece p. 439 📖 Para profundizar → Thomas §8.2 · productos de potencias de sen x y cos x: los tres casos p. 445 📖 Para profundizar → Thomas §8.2 · Ejemplo 4: eliminar una raíz con el ángulo doble; potencias de tan y sec p. 446 📖 Para profundizar → Thomas §7.2 · ∫tan, ∫cot, ∫sec, ∫csc p. 374 📖 Para profundizar → Thomas §7.7 · funciones hiperbólicas: tabla 7.8 de integrales p. 418

★Cazuelazo semanal

Calcula el área de la región acotada por el intervalo $[a,b]$, donde $0 \lt a \lt b$, y por la gráfica de la función

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}\,.$$

Encuentra el valor del área positiva dada por la integral definida $\displaystyle A = \int_{0}^{\sqrt{2}/2} \frac{u^{3}\operatorname{arcsen}\bigl(u^{2}\bigr)}{\sqrt{1-u^{4}}}\,du$.

✍️ Para tu cuaderno — pendiente. Primera: completa el cuadrado, $(x-a)(b-x) = \bigl(\tfrac{b-a}{2}\bigr)^{2} - \bigl(x - \tfrac{a+b}{2}\bigr)^{2}$, y $\int\frac{dw}{\sqrt{r^{2}-w^{2}}} = \operatorname{arcsen}\frac{w}{r}$: la antiderivada es $F(x) = \operatorname{arcsen}\dfrac{2x-a-b}{b-a}$. En los extremos el integrando se dispara — la integral es impropia; el tema formal se construye más adelante —, pero $F$ tiene límite en los dos: $F(b) - F(a) = \tfrac{\pi}{2} - \bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr) = \pi$. El área vale $\pi$ sin importar $a$ ni $b$. Segunda: $t = u^{2}$ ($dt = 2u\,du$) convierte $A$ en $\tfrac12\int_0^{1/2}\frac{t\operatorname{arcsen}t}{\sqrt{1-t^{2}}}\,dt$; por partes con $dv = \frac{t\,dt}{\sqrt{1-t^{2}}}$ ($v = -\sqrt{1-t^{2}}$) y $u = \operatorname{arcsen}t$: $\tfrac12\bigl[t - \sqrt{1-t^{2}}\operatorname{arcsen}t\bigr]_0^{1/2} = \dfrac14 - \dfrac{\pi\sqrt3}{24} \approx 0.0233$.

▶ Clase 12 · Parte 12 — completar el cuadrado antes de integrar ▶ Clase 13 · Parte 4 — de (arcsen x)′ a ∫dx/√(1 − x²) ▶ Clase 9 · Parte 5 — la derivada del arco seno… y su integral ▶ Clase 13 · Parte 6 — la fórmula de integración por partes 📖 Para profundizar → Thomas §8.3 · sustituciones trigonométricas p. 449 📖 Para profundizar → Thomas §8.7 · integrales impropias p. 478

El Laboratorio 10 ya está aquí ▸

La Clase 13 abre el problema 3 y construye la herramienta de los demás; la Clase 17 cierra el problema 3 y resuelve el ejercicio 2. Sigue con el Laboratorio 10: sustitución trigonométrica.