Clase 16 · Los casos de las fracciones parciales

Formulario · para regresar rápido

Los casos del método, a la mano

Las dos preguntas previas, los tres tipos de factor con su planteo, cómo se encuentran las constantes, las integrales que dejan las piezas, las sustituciones que vuelven racional lo que no lo era — y los resultados del laboratorio.

Antes de todo · dos preguntas

$$\text{¿racional? } \frac{P(x)}{Q(x)},\ P, Q \text{ polinomios}$$ $$\text{¿propia? grado } P \lt \text{grado } Q$$ $$\text{si no: } \frac{P}{Q} = C + \frac{r}{Q},\ \text{grado } r \lt \text{grado } Q$$

Si no es racional: sustituir primero. Si no es propia: dividir; el cociente $C$ se integra aparte y el residuo sigue el método.

Caso 1 · lineales distintos

$$\frac{r(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$$ $$r(x) = A(x-b) + B(x-a)$$ $$x = a \Rightarrow A = \frac{r(a)}{a-b}$$ $$x = b \Rightarrow B = \frac{r(b)}{b-a}$$

Cada constante sale evaluando en su raíz (el «cover-up» de Heaviside, Thomas p. 458).

Caso 2 · lineales repetidos

$$\frac{r(x)}{(x-a)^{m}} \to \frac{A_1}{x-a} + \cdots + \frac{A_m}{(x-a)^{m}}$$ $$\frac{1}{(x-1)^{2}(x+1)^{2}} = \frac{A_1}{x-1} + \frac{A_2}{(x-1)^{2}}$$ $$\quad + \frac{A_3}{x+1} + \frac{A_4}{(x+1)^{2}}$$

Las raíces solo dan las potencias más altas ($A_2, A_4$); el resto sale con valores chicos y un sistema.

Caso 3 · cuadrático irreducible

$$\frac{r(x)}{x^{2}+px+q} \to \frac{Bx + C}{x^{2}+px+q}$$ $$(x^{2}+px+q)^{2} \to \frac{B_1x + C_1}{x^{2}+px+q}$$ $$\quad + \frac{B_2x + C_2}{(x^{2}+px+q)^{2}}$$ $$\frac{x^{2}-1}{x^{2}(x^{2}+9)} =$$ $$\frac{A_1}{x} + \frac{A_2}{x^{2}} + \frac{B_1x + C_1}{x^{2}+9}$$

Irreducible: sin raíces reales ($p^{2} - 4q \lt 0$). Arriba va un binomio, no una constante.

Encontrar las constantes

$$1.\ \text{las raíces de } Q \text{ (anulan términos)}$$ $$2.\ \text{valores chicos: } x = 0, \pm1, \pm2$$ $$3.\ \text{derivar, o igualar coeficientes}$$

Y checar: sumar las fracciones (o evaluar en un valor) debe devolver la fracción original.

Las integrales que dejan las piezas

$$\int\frac{dx}{x-r} = \ln|x-r| + C$$ $$\int\frac{dx}{(x-r)^{2}} = -\frac{1}{x-r} + C$$ $$\int\frac{dx}{x^{2}+a^{2}} = \frac1a\tan^{-1}\frac{x}{a} + C$$ $$\int\frac{x\,dx}{x^{2}+a^{2}} = \tfrac12\ln(x^{2}+a^{2}) + C$$

La tercera con $x = a\tan\theta$ (o la Tabla 7.4); la cuarta con $w = x^{2}+a^{2}$.

Sustituir para volverla racional

$$u = e^{t}:\ du = e^{t}dt,\ e^{2t} = u^{2}$$ $$u = \operatorname{sen}x:\ du = \cos x\,dx$$ $$u = \sqrt{x}:\ dx = 2u\,du,\ x = u^{2}$$

La diferencial completa (con $dx$), y todo — también $dx$ — en términos de $u$.

Los resultados del Laboratorio 11

$$\text{5(a)}:\ -\tfrac12\ln|x| + \tfrac16\ln|x+2|$$ $$\quad + \tfrac13\ln|x-1| + C$$ $$\text{5(b)}:\ \tfrac14\ln\left|\tfrac{x+1}{x-1}\right| - \frac{x}{2(x^{2}-1)} + C$$ $$\text{5(c)}:\ x - \frac1x - \frac{10}{3}\tan^{-1}\frac{x}{3} + C$$ $$\text{5(d)}:\ \ln\frac{e^{t}+1}{e^{t}+2} + C$$ $$\text{5(e)}:\ \tfrac15\ln\frac{2 - \operatorname{sen}x}{\operatorname{sen}x + 3} + C$$ $$\text{1}:\ 2\sqrt{x} - 2\tan^{-1}\sqrt{x}$$ $$\quad + \ln(x+1) + C$$

Ir de ida y de vuelta

$$\frac{d}{dx}\Big[\tfrac13\tan^{-1}\tfrac{x}{3}\Big] = \tfrac13\cdot\frac{1}{(x/3)^{2}+1}\cdot\tfrac13$$ $$= \frac{1}{x^{2}+9}$$

Derivar el resultado devuelve el integrando; sumar las fracciones devuelve la original. Cada vuelta atrapa un error.

El mapa de la sesión · ejercicio por ejercicio

El Laboratorio 11, de principio a fin

📖 Para profundizar → Thomas §8.4 · Integración de funciones racionales por fracciones parciales: el método p. 454 📖 Para profundizar → Thomas §8.4 · Ejemplos 2, 3 y 4: factor repetido, fracción impropia, cuadrático irreducible p. 456 📖 Para profundizar → Thomas §8.4 · Otras formas de determinar los coeficientes: derivar, o asignar valores a x p. 460 🧪 El laboratorio de esta clase → Laboratorio 11 · Integración por fracciones parciales 🧪 La sustitución con tangente, en ejercicios → Laboratorio 10 · Integración por sustitución trigonométrica

Cada ejercicio es un hilo (una o varias partes de la clase interactiva):

5(a) · lineales distintos (Parte 1, ya en el pizarrón al entrar). $x^{3}+x^{2}-2x = x(x+2)(x-1)$; una fracción por factor; $x = 0 \Rightarrow A_1 = -\tfrac12$, $x = -2 \Rightarrow A_2 = \tfrac16$, $x = 1 \Rightarrow A_3 = \tfrac13$. Al pasar en limpio: $$-\tfrac12\ln|x| + \tfrac16\ln|x+2|$$ $$\quad + \tfrac13\ln|x-1| + C$$ (el renglón final del pizarrón intercambió el $\tfrac13$ y el $\tfrac16$; los recuadros los tenían bien).
5(b) · lineales repetidos (Partes 1–3). $(x^{2}-1)^{2} = (x-1)^{2}(x+1)^{2}$: cuatro fracciones. Las raíces dan $A_2 = A_4 = \tfrac14$; «ya no hay ningún valor que haga cero» los otros dos: $x = 0$ y $x = 2$ dan $-A_1 + A_3 = \tfrac12$ y $9A_1 + 3A_3 = -\tfrac32$; eliminación $(1)\times(-3) + (2)$: $A_1 = -\tfrac14$, $A_3 = \tfrac14$. Dos logaritmos y dos potencias ($u = x - 1$): $$\int\frac{dx}{(x^{2}-1)^{2}}$$ $$= \tfrac14\ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right| - \frac{x}{2(x^{2}-1)} + C$$
5(c) · impropia + cuadrático irreducible (Partes 4–10). Mismo grado: dividir, $\frac{x^{4}+9}{x^{4}+9x^{2}} = 1 + \frac{-9x^{2}+9}{x^{4}+9x^{2}}$, y $\int = x - 9\int\frac{x^{2}-1}{x^{2}(x^{2}+9)}\,dx$. Planteo $\frac{A_1}{x} + \frac{A_2}{x^{2}} + \frac{B_1x + C_1}{x^{2}+9}$; $x = 0 \Rightarrow A_2 = -\tfrac19$; $x = \pm1$ ⟹ $B_1 = -10A_1$; $x = \pm2$ ⟹ $C_1 = \tfrac{10}{9}$, $A_1 = 0$, $B_1 = 0$. Descomposición en limpio $-\frac{1/9}{x^{2}} + \frac{10/9}{x^{2}+9}$ (el pizarrón copió $-\tfrac{10}{9}$); $x = 3\tan\theta$ da $\tfrac13\tan^{-1}\tfrac x3$: $$\int\frac{x^{4}+9}{x^{4}+9x^{2}}\,dx$$ $$= x - \frac1x - \frac{10}{3}\tan^{-1}\frac{x}{3} + C$$ Y la comprobación derivando, «de ida y de vuelta».
5(d) y 5(e) · no son racionales (Parte 11). $u = e^{t}$: $\int\frac{du}{(u+1)(u+2)} = \ln\left|\frac{u+1}{u+2}\right|$; de regreso, sin valor absoluto: $$\int\frac{e^{t}\,dt}{e^{2t}+3e^{t}+2}$$ $$= \ln\frac{e^{t}+1}{e^{t}+2} + C$$ La duda del salón («$e^{t}$ nunca es $-1$»): los valores viven en la identidad polinómica. 5(e) con $u = \operatorname{sen}x$, planteado: $\int\frac{du}{u^{2}+u-6}$. El método en tres reglas.
Ejercicio 1 · u = √x, tres caminos (Parte 12). $dx = 2u\,du$: $2\int\frac{u^{2}+u}{u^{2}+1}\,du$, mismo grado. Dividir, $u = \tan\theta$, o $u^{2}+u = (u^{2}+1) - 1 + u$: $$\int\frac{\sqrt{x}+1}{x+1}\,dx$$ $$= 2\sqrt{x} - 2\tan^{-1}\sqrt{x} + \ln(x+1) + C$$
El cierre (Parte 13). Probar los tres caminos da experiencia (el método de casos); antes de responder, ¿existe la respuesta?; comparar exige un criterio (Messi o Cristiano); la voluntad se forma con hábitos; y «que salgan dudas quiere decir que se está estudiando».

Laboratorio interactivo · la estrella

El sistema del 5(b), en vivo

📖 Para profundizar → Thomas §8.4 · Ejemplo 1: resolver el sistema de los coeficientes p. 455

Con $A_2 = A_4 = \tfrac14$ fijos, mueve $A_1$ y $A_3$. La curva punteada es $\frac{A_1}{x-1} + \frac{1/4}{(x-1)^{2}} + \frac{A_3}{x+1} + \frac{1/4}{(x+1)^{2}}$; la sólida, $\frac{1}{(x^{2}-1)^{2}}$. Solo una pareja las hace coincidir — la que cumple las dos ecuaciones de la clase: con $x = 0$, $-A_1 + A_3 = \tfrac12$; con $x = 2$, $9A_1 + 3A_3 = -\tfrac32$.

A₁ = 0.00 A₃ = 0.00

x = 0: −A₁ + A₃ (debe ser ½)

—

x = 2: 9A₁ + 3A₃ (debe ser −3/2)

—

error medio entre las curvas

—

¿coinciden?

—

La descomposición del 5(c), en vivo

📖 Para profundizar → Thomas §8.4 · Ejemplo 4: el factor cuadrático irreducible p. 456

$\frac{x^{2}-1}{x^{2}(x^{2}+9)}$ contra $\frac{a}{x^{2}} + \frac{c}{x^{2}+9}$ (ya con $A_1 = B_1 = 0$). El laboratorio arranca con la copia del pizarrón, $a = -\tfrac{10}{9}$: mueve $a$ y $c$ hasta que las curvas coincidan. La pista es la del profesor: «checar que el lado izquierdo coincida con el derecho» — por ejemplo en $x = 1$, donde la fracción vale 0.

a = −1.11 c = 1.11

en x = 1: a + c/10 (debe ser 0)

—

en x = 3: a/9 + c/18 (debe ser 4/81)

—

error medio entre las curvas

—

¿coinciden?

—

x = 3 tan θ, en vivo

📖 Para profundizar → Thomas §8.3 · Sustituciones trigonométricas: x = a tan θ y su triángulo p. 449

Mueve $x$: el triángulo de $\tan\theta = x/3$ se redibuja a escala (adyacente 3, opuesto $x$, hipotenusa $\sqrt{x^{2}+9}$). A la derecha, el integrando $1/(x^{2}+9)$ y la primitiva $F = \tfrac13\tan^{-1}(x/3)$; la comprobación numérica $F'(x) \approx 1/(x^{2}+9)$ se hace en cada posición — «ir de ida y de vuelta».

x = 2.00

θ = tan⁻¹(x/3)

—

hipotenusa √(x² + 9)

—

F(x) = ⅓ tan⁻¹(x/3)

—

F′(x) numérica ≈ 1/(x² + 9)

—

Lo que se resolvió · y dónde se tropieza

Los ejercicios, uno a uno

Cada resultado verificado en sympy, con el paso que más cuesta. Los enunciados son los del Laboratorio 11.

5(a) · $\int\frac{dx}{x^{3}+x^{2}-2x}$

$$\frac{1}{x(x+2)(x-1)} = \frac{-1/2}{x} + \frac{1/6}{x+2}$$ $$\quad + \frac{1/3}{x-1}$$ $$= -\tfrac12\ln|x| + \tfrac16\ln|x+2|$$ $$\quad + \tfrac13\ln|x-1| + C$$

Tropiezo: cruzar los coeficientes al copiar — $\tfrac16$ es el de $x+2$ (sale con $x = -2$) y $\tfrac13$ el de $x-1$ (con $x = 1$). El renglón final del pizarrón los intercambió; derivando se descubre.

5(b) · $\int\frac{dx}{(x^{2}-1)^{2}}$

$$\frac{-1/4}{x-1} + \frac{1/4}{(x-1)^{2}}$$ $$\quad + \frac{1/4}{x+1} + \frac{1/4}{(x+1)^{2}}$$ $$= \tfrac14\ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right| - \frac{x}{2(x^{2}-1)} + C$$

Tropiezos: plantear solo dos fracciones; creer que $\int dx/(x-1)^{2}$ es un logaritmo (es $-1/(x-1)$); y el sistema: con $x = 0$ y $x = 2$, eliminar multiplicando la (1) por $-3$.

5(c) · $\int\frac{x^{4}+9}{x^{4}+9x^{2}}\,dx$

$$= x - 9\int\frac{x^{2}-1}{x^{2}(x^{2}+9)}\,dx$$ $$\frac{x^{2}-1}{x^{2}(x^{2}+9)} = -\frac{1/9}{x^{2}} + \frac{10/9}{x^{2}+9}$$ $$= x - \frac1x - \frac{10}{3}\tan^{-1}\frac{x}{3} + C$$

Tropiezos: no dividir (mismo grado); poner una constante encima de $x^{2}+9$ (va $B_1x + C_1$); y al copiar, $-\tfrac{10}{9}$ donde va $A_2 = -\tfrac19$ — con $x = 1$ la fracción vale 0 y la copia no. $A_1 = B_1 = 0$ es legítimo: la fracción es par.

5(d) · $\int\frac{e^{t}\,dt}{e^{2t}+3e^{t}+2}$

$$u = e^{t}:\ \int\frac{du}{(u+1)(u+2)}$$ $$= \int\Big(\frac{1}{u+1} - \frac{1}{u+2}\Big)du$$ $$= \ln\frac{e^{t}+1}{e^{t}+2} + C$$

Tropiezos: querer factorizar «$e^{2t}+3e^{t}+2$» sin sustituir (no es racional en $t$); dejar el valor absoluto, que sobra (todo es positivo). Los valores $u = -1, -2$ sirven en la identidad polinómica aunque $e^{t}$ nunca los tome.

5(e) · $\int\frac{\cos x\,dx}{\operatorname{sen}^{2}x+\operatorname{sen}x-6}$

$$u = \operatorname{sen}x:\ \frac{1}{(u+3)(u-2)}$$ $$= \frac{1/5}{u-2} - \frac{1/5}{u+3}$$ $$= \tfrac15\ln\frac{2-\operatorname{sen}x}{\operatorname{sen}x+3} + C$$

Pendiente en clase (solo se planteó). Como $|\operatorname{sen}x| \le 1$, $\operatorname{sen}x - 2 \lt 0$ y $\operatorname{sen}x + 3 \gt 0$: el valor absoluto se resuelve con $2 - \operatorname{sen}x$.

Ejercicio 1 · $\int\frac{\sqrt{x}+1}{x+1}\,dx$

$$u = \sqrt{x},\ dx = 2u\,du:\ 2\int\frac{u^{2}+u}{u^{2}+1}\,du$$ $$= 2\int\Big(1 - \frac{1}{u^{2}+1} + \frac{u}{u^{2}+1}\Big)du$$ $$= 2\sqrt{x} - 2\tan^{-1}\sqrt{x}$$ $$\quad + \ln(x+1) + C$$

Tropiezos: $du = \frac{dx}{2\sqrt{x}}$ es diferencial, no derivada; dejar $dx = 2\sqrt{x}\,du$ sin pasarlo a $2u\,du$; y plantear fracciones parciales a una fracción que no es propia.

Al pasar en limpio · dos copias que fallaron

El pizarrón resolvió bien los dos sistemas y falló al copiar: en 5(a) intercambió $\tfrac13$ y $\tfrac16$; en 5(c) arrastró un $-\tfrac{10}{9}$ (de $10A_2 = -\tfrac{10}{9}$) donde va $A_2 = -\tfrac19$, y escribió $x(x^{2}+9)$ donde va $x^{2}(x^{2}+9)$. Las dos se atrapan con el consejo del propio profesor: checar que el lado izquierdo coincida con el derecho (sumar las fracciones, o evaluar en $x = 1$) y derivar el resultado.

Lo que queda para el cuaderno

Del laboratorio: terminar el 5(e); el ejercicio 1 por los otros dos caminos (dividir: $1 + \frac{u-1}{u^{2}+1}$; $u = \tan\theta$); los ejercicios 2, 3 y 4 y el cazuelazo ($x^{4}+1$: dos cuadráticos irreducibles).

El método completo: racional → propia (o dividir) → factorizar → una fracción por factor (lineal: constante; repetido: una por potencia; cuadrático: $Bx + C$) → constantes (raíces, valores chicos, derivar) → integrar (logaritmos, potencias, arco tangente).

Ponte a prueba

¿Qué tan clara quedó la clase?

1 · Para $\dfrac{r(x)}{(x-2)^{3}}$ (con $r$ de grado menor que 3), ¿cómo se plantea?

2 · En el denominador aparece $x^{2}+4$. ¿Qué se escribe encima?

3 · Para $\displaystyle\int\frac{2x^{2}+1}{x^{2}+1}\,dx$, lo primero es…

4 · $\displaystyle\int\frac{dx}{(x+3)^{2}} = \;?$

5 · En $1 = A(x-3) + B(x-2)$, con $x = 2$: ¿cuánto vale $A$?

6 · $\displaystyle\int\frac{dx}{x^{2}+25} = \;?$

7 · Para $\displaystyle\int\frac{e^{t}\,dt}{e^{2t}+3e^{t}+2}$, ¿qué es lo primero?

Para tu cuaderno

Practica: los mismos casos

1 · $\displaystyle\int\frac{x+4}{x^{3}+3x^{2}-10x}\,dx$ — lineales distintos (Thomas, Ejemplo 7).

$x^{3}+3x^{2}-10x = x(x-2)(x+5)$; planteo $\frac{A}{x} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x+5}$. Con las raíces: $x = 0 \Rightarrow A = \frac{4}{(-2)(5)} = -\tfrac25$; $x = 2 \Rightarrow B = \frac{6}{2\cdot7} = \tfrac37$; $x = -5 \Rightarrow C = \frac{-1}{(-5)(-7)} = -\tfrac{1}{35}$.

$$\int\frac{x+4}{x^{3}+3x^{2}-10x}\,dx$$ $$= -\tfrac25\ln|x| + \tfrac37\ln|x-2|$$ $$\quad - \tfrac{1}{35}\ln|x+5| + C$$

Verificado en sympy. Es el ejemplo del «cover-up» de Heaviside (Thomas p. 459).

2 · $\displaystyle\int\frac{6x+7}{(x+2)^{2}}\,dx$ — lineal repetido (Thomas, Ejemplo 2).

Dos fracciones: $\frac{A}{x+2} + \frac{B}{(x+2)^{2}}$; identidad $6x + 7 = A(x+2) + B$. Con $x = -2$: $B = -5$; con $x = 0$: $7 = 2A - 5$, $A = 6$.

$$\frac{6x+7}{(x+2)^{2}} = \frac{6}{x+2} - \frac{5}{(x+2)^{2}}$$ $$\int\frac{6x+7}{(x+2)^{2}}\,dx = 6\ln|x+2| + \frac{5}{x+2} + C$$

La segunda pieza es una potencia: $\int -5(x+2)^{-2}\,dx = 5(x+2)^{-1}$. Verificado en sympy.

3 · $\displaystyle\int\frac{x^{3}}{x^{2}+1}\,dx$ — no es propia.

Grado 3 sobre 2: dividir. $x^{3} = x(x^{2}+1) - x$, así que $\frac{x^{3}}{x^{2}+1} = x - \frac{x}{x^{2}+1}$. El residuo ya está sobre un cuadrático irreducible y se integra con $w = x^{2}+1$.

$$\int\frac{x^{3}}{x^{2}+1}\,dx = \frac{x^{2}}{2} - \tfrac12\ln(x^{2}+1) + C$$

Verificado en sympy.

4 · $\displaystyle\int\frac{dx}{x(x^{2}+4)}$ — lineal + cuadrático irreducible.

Planteo $\frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^{2}+4}$; identidad $1 = A(x^{2}+4) + (Bx+C)x$. Con $x = 0$: $A = \tfrac14$; con $x = 1$ y $x = -1$: $1 = \tfrac54 + B + C$ y $1 = \tfrac54 + B - C$ ⟹ $C = 0$, $B = -\tfrac14$.

$$\frac{1}{x(x^{2}+4)} = \frac{1/4}{x} - \frac{x/4}{x^{2}+4}$$ $$\int\frac{dx}{x(x^{2}+4)} = \tfrac14\ln|x| - \tfrac18\ln(x^{2}+4) + C$$

Verificado en sympy. Aquí el arco tangente no aparece porque $C = 0$; si el numerador tuviera constante, sí.

5 · $\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x}\,(x+1)}$ — sustituir primero.

$u = \sqrt{x}$, $dx = 2u\,du$: $\int\frac{2u\,du}{u(u^{2}+1)} = 2\int\frac{du}{u^{2}+1}$. Racional, propia, y ya es una inmediata.

$$\int\frac{dx}{\sqrt{x}\,(x+1)} = 2\tan^{-1}\sqrt{x} + C$$

Verificado en sympy. Reto: termina el 5(e) del laboratorio y compara con $\tfrac15\ln\frac{2-\operatorname{sen}x}{\operatorname{sen}x+3} + C$.

Para el repaso

Las clases donde vive cada herramienta

La Clase 16 interactiva te lleva por las 13 partes al ritmo de la voz del profesor, caso por caso. La Clase 15 (el arranque: teorema fundamental del álgebra, fracción propia, el primer ejemplo; y la tabla de sustituciones), la Clase 12 (u = eᵗ; completar el cuadrado → arco tangente), la Clase 9 (el arco tangente y el logaritmo), la Clase 6 (la sustitución; u = √x) y la Clase 14 (∫√x/(x+1) en el examen) siguen ahí para el repaso.

La Clase 17 ya está aquí

La integral de la inversa: un taller de tres laboratorios — ∫f⁻¹ = x f⁻¹ − ∫f(y)dy demostrada y usada con tan⁻¹, cos⁻¹ y log₂, el valor de a que sale de un arco tangente, √(a² − x²) y el medio círculo, el cazuelazo de senⁿ y cosⁿ — y, por fin, la fórmula de reducción de ∫tanⁿx. Ir a la Clase 17 ▸

Los casos de las fracciones parciales

Los casos del método, a la mano

El Laboratorio 11, de principio a fin

El sistema del 5(b), en vivo

La descomposición del 5(c), en vivo

x = 3 tan θ, en vivo

Los ejercicios, uno a uno

5(a) · \(\int\frac{dx}{x^{3}+x^{2}-2x}\)

5(b) · \(\int\frac{dx}{(x^{2}-1)^{2}}\)

5(c) · \(\int\frac{x^{4}+9}{x^{4}+9x^{2}}\,dx\)

5(d) · \(\int\frac{e^{t}\,dt}{e^{2t}+3e^{t}+2}\)

5(e) · \(\int\frac{\cos x\,dx}{\operatorname{sen}^{2}x+\operatorname{sen}x-6}\)