Clase 18 · El método que convenga

Formulario · para regresar rápido

Las herramientas de la clase, a la mano

La sustitución con secante y su triángulo, las integrales de la cosecante, los cuadráticos irreducibles repetidos, la brújula para elegir método, los trucos algebraicos, la integral de una inversa, los tres casos de $\int\operatorname{sen}^{m}\cos^{n}$ — y los resultados del ejercicio 5.

x = a sec θ · para x² − a²

$$x = a\sec\theta \iff \theta = \sec^{-1}\frac{x}{a}$$ $$dx = a\sec\theta\tan\theta\,d\theta$$ $$x^{2}-a^{2} = a^{2}\tan^{2}\theta$$

Triángulo: hipotenusa $x$, adyacente $a$, opuesto $\sqrt{x^{2}-a^{2}}$. Requiere $|x| \geq a$; con $x > a$, $0 \leq \theta \lt \frac{\pi}{2}$.

La cosecante · ∫csc, ∫csc², ∫csc³

$$\int\csc\theta\,d\theta = \ln|\csc\theta - \cot\theta| + C$$ $$\int\csc^{2}\theta\,d\theta = -\cot\theta + C$$ $$\int\csc^{3}\theta\,d\theta = -\tfrac12\csc\theta\cot\theta$$ $$\quad + \tfrac12\ln|\csc\theta - \cot\theta| + C$$

$\int\csc^{3}$ por partes ($u = \csc\theta$, $dv = \csc^{2}\theta\,d\theta$): la integral regresa. Gemela de $\int\sec^{3}$ (Thomas p. 447).

∫dx/(x² − 1)² · dos caminos, un resultado

$$\frac{\cos^{2}\theta}{\operatorname{sen}^{3}\theta} = \csc^{3}\theta - \csc\theta$$ $$\int\frac{dx}{(x^{2}-1)^{2}} = \tfrac14\ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right|$$ $$\quad - \frac{x}{2(x^{2}-1)} + C$$

Con $x = \sec\theta$ o con fracciones parciales. Ojo: $\frac{1-\operatorname{sen}^{2}\theta}{\operatorname{sen}^{3}\theta}$, no $\operatorname{sen}^{2}$ abajo.

Irreducible · y repetido

$$x^{2}+px+q,\ p^{2}-4q \lt 0 \to \frac{Bx+C}{x^{2}+px+q}$$ $$\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{B_1x+C_1}{x^{2}+1}$$ $$\quad + \frac{B_2x+C_2}{(x^{2}+1)^{2}}$$

Si el cuadrático tiene raíces ($x^{2}-1$), se factoriza en lineales.

Elegir el método · la brújula

Trascendente sola ($\ln$, $\operatorname{sen}^{-1}$, $\tan^{-1}$) ⟶ por partes, con ella en $u$ y $dv = dx$.

¿Está (casi) la derivada de algo? ⟶ sustitución.

Racional propia ⟶ fracciones parciales; impropia ⟶ dividir antes.

Raíz de algo lineal ⟶ $u = x+b$ o $u = \sqrt{x+b}$.

El álgebra antes del método

$$\frac{1}{1+\cos x}\cdot\frac{1-\cos x}{1-\cos x} = \frac{1-\cos x}{\operatorname{sen}^{2}x}$$ $$\frac{x^{2}}{x^{2}+1} = \frac{x^{2}+1-1}{x^{2}+1} = 1 - \frac{1}{x^{2}+1}$$ $$x - \sqrt{x} = \sqrt{x}\,(\sqrt{x}-1)$$

Multiplicar y dividir por lo mismo; sumar y restar lo mismo; factorizar; separar.

La integral de una inversa

$$\int f^{-1}(x)\,dx = xf^{-1}(x) - \int f(y)\,dy$$ $$\int\operatorname{sen}^{-1}x\,dx = x\operatorname{sen}^{-1}x + \sqrt{1-x^{2}} + C$$

Con $y = f^{-1}(x)$. Regreso con el triángulo; el rango de $\operatorname{sen}^{-1}$ da $\cos y \geq 0$.

∫senᵐx cosⁿx · los tres casos

$$m = 2k+1:\ (1-\cos^{2}x)^{k}\operatorname{sen}x,\ u = \cos x$$ $$n = 2k+1:\ (1-\operatorname{sen}^{2}x)^{k}\cos x,\ u = \operatorname{sen}x$$ $$\cos^{2}x = \frac{1+\cos2x}{2},\ \operatorname{sen}^{2}x = \frac{1-\cos2x}{2}$$

El tercer renglón, cuando $m$ y $n$ son pares. Impar es $2k+1$, no $2k$.

Los ejemplos del libro

$$\int\operatorname{sen}^{3}x\cos^{2}x\,dx = \frac{\cos^{5}x}{5} - \frac{\cos^{3}x}{3} + C$$ $$\int\cos^{5}x\,dx = \operatorname{sen}x - \tfrac23\operatorname{sen}^{3}x$$ $$\quad + \tfrac15\operatorname{sen}^{5}x + C$$

Thomas §8.2, Ejemplos 1 y 2 (pp. 444–445).

Tarea 6, ejercicio 5 · (a)–(e)

$$\text{(a) } \tfrac12\ln^{2}x \quad \text{(b) } -\frac{\ln x}{x} - \frac1x$$ $$\text{(c) } -\tan^{-1}(\cos x) \quad \text{(d) } \csc x - \cot x$$ $$\text{(e) } x\ln(1+x^{2}) - 2x + 2\tan^{-1}x$$

Todas $+\,C$. (d) también es $\tan\frac x2$.

Tarea 6, ejercicio 5 · (f)–(j)

$$\text{(f) } \tfrac12\tan^{-1}(x^{2}) \quad \text{(h) } 2\ln|\sqrt{x}-1|$$ $$\text{(g) } 3\ln|x-3| + 2\ln|x+1|$$ $$\text{(i) } x\operatorname{sen}^{-1}x + \sqrt{1-x^{2}}$$ $$\text{(j) } \tfrac23(x-2)\sqrt{x+1}$$

Todas $+\,C$. (j) = $\frac23(x+1)^{3/2} - 2(x+1)^{1/2}$ = $2x\sqrt{x+1} - \frac43(x+1)^{3/2}$.

El mapa de la sesión · hilo por hilo

Un taller de técnicas… y un tema nuevo

📖 Para profundizar → Thomas §8.3 · Sustituciones trigonométricas: x = a sec θ p. 450 📖 Para profundizar → Thomas §8.1 · Integración por partes p. 437 📖 Para profundizar → Thomas §8.1 · Integración de funciones inversas p. 443 📖 Para profundizar → Thomas §8.2 · Integrales trigonométricas: productos de potencias de senos y cosenos p. 444 🧪 ∫csc³, ∫f⁻¹ y potencias trigonométricas, en ejercicios → Laboratorio 9 · Integración por partes e integrales trigonométricas 🧪 ∫dx/(x²−1)² y el cazuelazo ∫dx/(x⁴+1) → Laboratorio 11 · Integración por fracciones parciales

Cada hilo es una o varias partes de la clase interactiva:

∫dx/(x²−1)², otra vez (Parte 1). El planteo de fracciones parciales (dos fracciones por cada factor repetido) y, a pregunta del salón, el camino trigonométrico: $x = \sec\theta$, $\sec^{2}\theta - 1 = \tan^{2}\theta$, todo a senos y cosenos: $\int\frac{\cos^{2}\theta}{\operatorname{sen}^{3}\theta}\,d\theta$. El pizarrón siguió con $\frac{1-\operatorname{sen}^{2}\theta}{\operatorname{sen}^{2}\theta}$ (el 3 se volvió 2) y cerró en $-\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}} - \sec^{-1}x + C$, que no deriva a $\frac{1}{(x^{2}-1)^{2}}$. Al pasar en limpio, $\int(\csc^{3}\theta - \csc\theta)\,d\theta$: $$= \tfrac14\ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right| - \frac{x}{2(x^{2}-1)} + C$$ el mismo resultado que por fracciones parciales.
¿Por qué irreducibles? (Parte 2). Sobre $x^{2}+1$ va $Bx + C$; si se repite, $\frac{B_1x+C_1}{x^{2}+1} + \frac{B_2x+C_2}{(x^{2}+1)^{2}}$; si el cuadrático tiene raíces, se factoriza. «Las dudas surgen al hacer el ejercicio.»
Tarea 6, 5(a)–(c) (Partes 3–4). $\int\frac{\ln x}{x}$ por sustitución y por partes (la integral regresa: $2\int = \ln^{2}x$); $\int\frac{\ln x}{x^{2}}$ por partes con $v = -\frac1x$; $\int\frac{\operatorname{sen}x}{1+\cos^{2}x}$ con $u = \cos x$ — y por qué el conjugado no conviene ahí.
5(d)–(e) (Partes 5–6). $\int\frac{dx}{1+\cos x}$: conjugado, pitagórica, $\int\csc^{2} - \int\frac{\cos x}{\operatorname{sen}^{2}x} = -\cot x + \csc x$. $\int\ln(1+x^{2})$ por partes y el truco de sumar y restar: $x\ln(1+x^{2}) - 2x + 2\tan^{-1}x$.
5(f)–(h) (Partes 7–9). $\int\frac{x}{x^{4}+1}$: racional, pero $u = x^{2}$ gana ($\tfrac12\tan^{-1}x^{2}$); $x^{4}+1 \neq (x^{2}+1)^{2}$, y sus raíces son complejas. $\int\frac{5x-3}{x^{2}-2x-3}$ por fracciones parciales: $3\ln|x-3| + 2\ln|x+1|$. $\int\frac{dx}{x-\sqrt{x}}$: factorizar $\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)$ y $u = \sqrt{x}-1$.
5(i)–(j) (Partes 10–11). $\int\operatorname{sen}^{-1}x$ por partes y por la fórmula de la inversa, con el triángulo. $\int\frac{x}{\sqrt{x+1}}$ con $u = x+1$ y por partes; en el salón los dos resultados parecían distintos — son idénticos: $$\tfrac23(x+1)^{3/2} - 2(x+1)^{1/2}$$ $$= 2x\sqrt{x+1} - \tfrac43(x+1)^{3/2}$$
Lo que queda, (k)–(p) (Parte 12). Seis incisos dictados, para el cuaderno (respuestas verificadas en la clase interactiva).
∫senᵐx cosⁿx (Partes 13–14). $m$ impar: $\int\operatorname{sen}^{3}x\cos^{2}x = \frac{\cos^{5}x}{5} - \frac{\cos^{3}x}{3}$; $n$ impar: $\int\cos^{5}x = \operatorname{sen}x - \frac23\operatorname{sen}^{3}x + \frac15\operatorname{sen}^{5}x$ (el cuadrado de $(1-u^{2})^{2}$ que el salón detecta); ambos pares: el ángulo doble. En el pizarrón quedó «impar ⟺ $2k$»; la voz lo corrige: $2k+1$.

Laboratorio interactivo · la estrella

x = sec θ: ¿cuál de los dos resultados?

📖 Para profundizar → Thomas §8.3 · x = a sec θ y su triángulo p. 450

Mueve $x > 1$. A la izquierda, el triángulo de $\sec\theta = x$ a escala. A la derecha, el integrando $\frac{1}{(x^{2}-1)^{2}}$ y la pendiente numérica de las dos antiderivadas: la del cálculo completo ($-\frac{x}{2(x^{2}-1)} + \frac14\ln\frac{x+1}{x-1}$) y la del pizarrón ($-\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}} - \sec^{-1}x$). Solo una tiene la pendiente correcta en cada $x$.

x = 2.00

θ = sec⁻¹x

—

1/(x² − 1)²

—

pendiente de la completa

—

pendiente de la del pizarrón

—

∫senᵐx cosⁿx: ¿qué caso es?

📖 Para profundizar → Thomas §8.2 · Productos de potencias de senos y cosenos: los tres casos p. 444

Elige $m$ y $n$. El laboratorio dice qué caso aplica y qué factor se aparta, dibuja $\operatorname{sen}^{m}x\cos^{n}x$ en $[0, 2\pi]$ y compara $\int_0^{\pi/2}\operatorname{sen}^{m}x\cos^{n}x\,dx$ calculada numéricamente (Simpson) con el valor exacto.

m = n =

caso

—

receta

—

∫ de 0 a π/2, numérica

—

valor exacto

—

La integral de una inversa, en áreas

📖 Para profundizar → Thomas §8.1 · Integración de funciones inversas p. 443

Mueve $b$ entre 0 y 1; $\beta = \operatorname{sen}^{-1}b$. El área bajo $y = \operatorname{sen}^{-1}x$ de 0 a $b$ (azul) y el área entre la curva y el eje $y$ de 0 a $\beta$ — que es $\int_0^{\beta}\operatorname{sen}y\,dy$ (ámbar) — llenan el rectángulo $b\cdot\beta$. De ahí la fórmula $\int f^{-1} = xf^{-1}(x) - \int f(y)\,dy$.

b = 0.80

∫₀ᵇ sen⁻¹x dx (numérica)

—

b sen⁻¹b + √(1−b²) − 1

—

∫ de 0 a β de sen y = 1 − cos β

—

suma vs b·β

—

Lo que se resolvió · y dónde se tropieza

El ejercicio 5, inciso por inciso

Cada resultado verificado en sympy, con el paso que más cuesta.

(a) · $\int\frac{\ln x}{x}\,dx$

$$u = \ln x:\ \int u\,du = \frac{\ln^{2}x}{2} + C$$

Por partes también: $u = \ln x$, $dv = \frac{dx}{x}$; la integral regresa y $2\int = \ln^{2}x$. Tropiezo: «bajar el 2» — $\ln^{2}x = (\ln x)^{2}$, no $\ln x^{2}$.

(b) · $\int\frac{\ln x}{x^{2}}\,dx$

$$u = \ln x,\ dv = \frac{dx}{x^{2}},\ v = -\frac1x$$ $$= -\frac{\ln x}{x} - \frac1x + C$$

Tropiezo: integrar $\frac{1}{x^{2}}$ como logaritmo; es la potencia $x^{-2}$.

(c) · $\int\frac{\operatorname{sen}x}{1+\cos^{2}x}\,dx$

$$u = \cos x:\ -\int\frac{du}{1+u^{2}}$$ $$= -\tan^{-1}(\cos x) + C$$

Tropiezo: $u = \cos^{2}x$ (su $du$ no está) o el conjugado (da $1 - \cos^{4}x$).

(d) · $\int\frac{dx}{1+\cos x}$

$$= \int\frac{1-\cos x}{\operatorname{sen}^{2}x}\,dx$$ $$= \int\csc^{2}x\,dx - \int\frac{\cos x}{\operatorname{sen}^{2}x}\,dx$$ $$= -\cot x + \csc x + C$$

Tropiezo: $\int\frac{du}{u^{2}}$ no es logaritmo: $-\frac1u$.

(e) · $\int\ln(1+x^{2})\,dx$

$$= x\ln(1+x^{2}) - 2\int\frac{x^{2}}{1+x^{2}}\,dx$$ $$= x\ln(1+x^{2}) - 2x + 2\tan^{-1}x + C$$

Tropiezo: olvidar multiplicar por $-2$ la integral auxiliar $x - \tan^{-1}x$.

(f) · $\int\frac{x}{x^{4}+1}\,dx$

$$u = x^{2}:\ \tfrac12\int\frac{du}{u^{2}+1}$$ $$= \tfrac12\tan^{-1}(x^{2}) + C$$

Tropiezo: $x^{4}+1 = (x^{2}+1)^{2}$ (falso: sobra $2x^{2}$); en realidad $x^{4}+1 = (x^{2}-\sqrt2x+1)(x^{2}+\sqrt2x+1)$.

(g) · $\int\frac{5x-3}{x^{2}-2x-3}\,dx$

$$\frac{5x-3}{(x-3)(x+1)} = \frac{3}{x-3} + \frac{2}{x+1}$$ $$= 3\ln|x-3| + 2\ln|x+1| + C$$

Consejo: dejarlo sin agrupar facilita comprobar derivando.

(h) · $\int\frac{dx}{x-\sqrt{x}}$

$$= \int\frac{dx}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)} = 2\ln|\sqrt{x}-1| + C$$

Tropiezo: no factorizar antes; con $u = \sqrt{x}-1$, $\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\,du$ — no olvidar el 2.

(i) · $\int\operatorname{sen}^{-1}x\,dx$

$$= x\operatorname{sen}^{-1}x - \int\frac{x\,dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$$ $$= x\operatorname{sen}^{-1}x + \sqrt{1-x^{2}} + C$$

Con la inversa: $x\operatorname{sen}^{-1}x - \int\operatorname{sen}y\,dy$ $= x\operatorname{sen}^{-1}x + \cos y$, y $\cos y = \sqrt{1-x^{2}}$ (rango de $\operatorname{sen}^{-1}$).

(j) · $\int\frac{x}{\sqrt{x+1}}\,dx$

$$u = x+1:\ \int(u^{1/2} - u^{-1/2})\,du$$ $$= \tfrac23(x+1)^{3/2} - 2(x+1)^{1/2} + C$$

Al pasar en limpio: por partes sale $2x\sqrt{x+1} - \frac43(x+1)^{3/2}$: la misma función ($x = (x+1) - 1$), $= \frac23(x-2)\sqrt{x+1}$.

Al pasar en limpio · lo que el pizarrón dejó distinto

1) En $x = \sec\theta$: $\frac{\cos^{2}\theta}{\operatorname{sen}^{3}\theta} = \csc^{3}\theta - \csc\theta$, no $\csc^{2}\theta - 1$. 2) «Impar ⟺ $m = 2k$»: impar es $2k+1$ (la voz lo corrige). 3) $\int\cos^{5}x$: el cuadrado de $(1-u^{2})^{2}$, que el salón detecta; resultado completo $\operatorname{sen}x - \frac23\operatorname{sen}^{3}x + \frac15\operatorname{sen}^{5}x$. 4) En (j) las dos formas no difieren: son iguales.

Para tu cuaderno · (k)–(p)

$\tan^{-1}(2\sqrt{x})$ · $\sec^{-1}(e^{x})$ · $\operatorname{sen}^{-1}\frac{z+1}{2}$ · $2(\sqrt{x}-1)e^{\sqrt{x}}$ · $\frac{x^{2}}{2} - \ln|x| + \frac12\ln(x^{2}+1)$ · $\frac12(x^{2}-1)e^{x^{2}}$ (todas $+\,C$, en ese orden). Con pistas en la Parte 12 de la clase interactiva.

Ponte a prueba

¿Qué tan clara quedó la clase?

1 · Para $\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x^{2}-9}}$, ¿qué sustitución?

2 · $\dfrac{\cos^{2}\theta}{\operatorname{sen}^{3}\theta} = \;?$

3 · $\displaystyle\int\frac{\ln x}{x^{2}}\,dx$: en la fórmula por partes, ¿cuánto vale $v$?

4 · ¿Para cuál conviene multiplicar y dividir por el conjugado?

5 · Con la fórmula de la inversa, $\displaystyle\int\tan^{-1}x\,dx = x\tan^{-1}x - \int\tan y\,dy$. ¿Qué queda al regresar a $x$?

6 · $\displaystyle\int\operatorname{sen}^{2}x\cos^{3}x\,dx$: ¿qué se aparta?

7 · Dos caminos dieron $\frac23(x+1)^{3/2} - 2(x+1)^{1/2}$ y $2x\sqrt{x+1} - \frac43(x+1)^{3/2}$. Entonces…

Para tu cuaderno

Practica: elegir el método

1 · $\displaystyle\int\operatorname{sen}^{5}x\,dx$ — caso 1 (m impar).

$\operatorname{sen}^{5}x = (1-\cos^{2}x)^{2}\operatorname{sen}x$; con $u = \cos x$: $-\int(1-u^{2})^{2}\,du$ $= -u + \frac23u^{3} - \frac15u^{5}$.

$$\int\operatorname{sen}^{5}x\,dx$$ $$= -\cos x + \tfrac23\cos^{3}x - \tfrac15\cos^{5}x + C$$

Verificado en sympy. Compárala con $\int\cos^{5}x$ de la Parte 14: es su espejo.

2 · $\displaystyle\int\operatorname{sen}^{2}x\cos^{3}x\,dx$ — caso 2 (n impar).

$\cos^{3}x = (1-\operatorname{sen}^{2}x)\cos x$; con $u = \operatorname{sen}x$: $\int u^{2}(1-u^{2})\,du$.

$$\int\operatorname{sen}^{2}x\cos^{3}x\,dx$$ $$= \frac{\operatorname{sen}^{3}x}{3} - \frac{\operatorname{sen}^{5}x}{5} + C$$

Verificado en sympy.

3 · $\displaystyle\int\tan^{-1}x\,dx$ — por la inversa (o por partes).

$y = \tan^{-1}x$, $x = \tan y$: $x\tan^{-1}x - \int\tan y\,dy$ $= x\tan^{-1}x - \ln|\sec y|$; en el triángulo, $\sec y = \sqrt{1+x^{2}}$.

$$\int\tan^{-1}x\,dx$$ $$= x\tan^{-1}x - \tfrac12\ln(1+x^{2}) + C$$

Verificado en sympy. Por partes ($u = \tan^{-1}x$, $dv = dx$) sale igual.

4 · $\displaystyle\int\frac{dx}{1-\operatorname{sen}x}$ — el conjugado.

$\frac{1+\operatorname{sen}x}{1-\operatorname{sen}^{2}x} = \frac{1+\operatorname{sen}x}{\cos^{2}x} = \sec^{2}x + \sec x\tan x$.

$$\int\frac{dx}{1-\operatorname{sen}x} = \tan x + \sec x + C$$

Verificado en sympy.

5 · $\displaystyle\int\frac{dx}{(x^{2}-4)^{3/2}}$, $x > 2$ — x = a sec θ.

$x = 2\sec\theta$, $dx = 2\sec\theta\tan\theta\,d\theta$, $(x^{2}-4)^{3/2} = 8\tan^{3}\theta$: $\frac14\int\frac{\sec\theta}{\tan^{2}\theta}\,d\theta = \frac14\int\frac{\cos\theta}{\operatorname{sen}^{2}\theta}\,d\theta = -\frac14\csc\theta$. En el triángulo (hipotenusa $x$, adyacente 2), $\csc\theta = \frac{x}{\sqrt{x^{2}-4}}$.

$$\int\frac{dx}{(x^{2}-4)^{3/2}} = -\frac{x}{4\sqrt{x^{2}-4}} + C$$

Verificado en sympy. Cuida los exponentes al pasar a senos y cosenos.

El método que convenga

Las herramientas de la clase, a la mano

Un taller de técnicas… y un tema nuevo

x = sec θ: ¿cuál de los dos resultados?

∫senᵐx cosⁿx: ¿qué caso es?

La integral de una inversa, en áreas

El ejercicio 5, inciso por inciso

(a) · \(\int\frac{\ln x}{x}\,dx\)

(b) · \(\int\frac{\ln x}{x^{2}}\,dx\)

(c) · \(\int\frac{\operatorname{sen}x}{1+\cos^{2}x}\,dx\)

(d) · \(\int\frac{dx}{1+\cos x}\)

(e) · \(\int\ln(1+x^{2})\,dx\)

(f) · \(\int\frac{x}{x^{4}+1}\,dx\)

(g) · \(\int\frac{5x-3}{x^{2}-2x-3}\,dx\)

(h) · \(\int\frac{dx}{x-\sqrt{x}}\)

(i) · \(\int\operatorname{sen}^{-1}x\,dx\)

(j) · \(\int\frac{x}{\sqrt{x+1}}\,dx\)

Al pasar en limpio · lo que el pizarrón dejó distinto

Para tu cuaderno · (k)–(p)

El pizarrón de la Clase 18

¿Qué tan clara quedó la clase?

Practica: elegir el método

Las clases donde vive cada herramienta

Lo que sigue