1Dieciséis límites: ¿forma indeterminada o no?
Justifica si el límite en cada inciso es, o no, una forma indeterminada. Luego calcula, si existe, el límite:
a) $$\lim_{x\to 1}\frac{1-x^{2}}{\operatorname{sen}(\pi x)}$$
b) $$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)-x+\dfrac{x^{2}}{2}}{x^{3}}$$
c) $$\lim_{a\to 1}\frac{x^{1-a}-1}{1-a},\quad x\gt 0$$
d) $$\lim_{\theta\to\pi/2}\frac{\sec(\theta)}{\tan(\theta)}$$
e) $$\lim_{x\to 0}\frac{e^{-\left(\frac{1}{x^{2}}\right)}}{x}$$
f) $$\lim_{x\to\infty}\frac{2^{x}+4^{x}}{5^{x}-2^{x}}$$
g) $$\lim_{x\to 0}\frac{\displaystyle\int_{0}^{x} x\,e^{-t^{2}}\,dt}{1-e^{-x^{2}}}$$
h) $$\lim_{x\to 1}\left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln(x)}\right)$$
i) $$\lim_{x\to\infty}\Bigl[\ln\bigl(1+6x\bigr)-\ln\bigl(4+3x\bigr)\Bigr]$$
j) $$\lim_{x\to\infty}\Bigl(2\sqrt{x}\bigl[\pi-2\arctan(\sqrt{x})\bigr]\Bigr)$$
k) $$\lim_{x\to\infty}\Bigl[x-\ln\bigl(3e^{x}+1\bigr)\Bigr]$$
l) $$\lim_{x\to 0^{+}}\bigl(\operatorname{sen}(x)\bigr)^{\cot(x)}$$
m) $$\lim_{x\to 0^{+}}\bigl(1+2x\bigr)^{\frac{1}{\ln x}}$$
n) $$\lim_{x\to 0}\left[\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}\right]^{1/x^{2}}$$
ñ) $$\lim_{x\to\infty}\left[\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}\right]^{1/x^{2}}$$
o) $$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{a^{1/x}+b^{1/x}}{2}\right)^{x},\quad a\gt 0,\ b\gt 0$$
✍️ Para tu cuaderno — pendiente. El orden importa: primero sustituye y nombra la forma; si es \(0/0\) o \(\infty/\infty\), revisa las hipótesis y deriva arriba y abajo por separado (no como cociente); si es \(\infty\cdot 0\) o \(\infty-\infty\), reescribe (común denominador, \(\ln a-\ln b=\ln\tfrac{a}{b}\), \(x=\ln e^{x}\)); si la variable está en el exponente, pasa al logaritmo. Y a veces la salida más corta no es L'Hôpital: en (d) la identidad \(\sec\theta/\tan\theta=1/\operatorname{sen}\theta\) resuelve todo, en (e) el cambio \(t=1/x\) convierte el problema en \(t\,e^{-t^{2}}\to 0\), y en (m) ni siquiera hay indeterminación.
Respuestas para comparar — ábrelas solo después de intentarlo
| Forma | Camino | Límite | |
|---|---|---|---|
| a) | \(0/0\) | L'Hôpital una vez: \(\dfrac{-2x}{\pi\cos(\pi x)}\) | \(\dfrac{2}{\pi}\) |
| b) | \(0/0\) | L'Hôpital tres veces (cada paso vuelve a dar \(0/0\)) | \(\dfrac{1}{3}\) |
| c) | \(0/0\) (la variable es \(a\)) | \(h=1-a\to 0\): es \(\dfrac{d}{dh}x^{h}\) en \(h=0\) | \(\ln x\) |
| d) | \(\infty/\infty\) | L'Hôpital da vueltas; \(\sec\theta/\tan\theta=1/\operatorname{sen}\theta\) | \(1\) |
| e) | \(0/0\) | \(t=1/x\): \(t\,e^{-t^{2}}=t/e^{t^{2}}\) con \(t\to\pm\infty\) | \(0\) |
| f) | \(\infty/\infty\) | divide entre \(5^{x}\): \(\dfrac{(2/5)^{x}+(4/5)^{x}}{1-(2/5)^{x}}\) | \(0\) |
| g) | \(0/0\) | arriba es \(x\cdot\!\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}dt\): producto + TFC; L'Hôpital dos veces | \(1\) |
| h) | \(\infty-\infty\) | común denominador \(\dfrac{x\ln x-x+1}{(x-1)\ln x}\), luego \(0/0\) dos veces | \(\dfrac{1}{2}\) |
| i) | \(\infty-\infty\) | \(\ln\dfrac{1+6x}{4+3x}\) y el cociente tiende a \(2\) | \(\ln 2\) |
| j) | \(\infty\cdot 0\) | \(u=\sqrt{x}\): \(\dfrac{\pi-2\arctan u}{1/(2u)}\) es \(0/0\); L'Hôpital da \(\dfrac{4u^{2}}{1+u^{2}}\) | \(4\) |
| k) | \(\infty-\infty\) | \(x=\ln e^{x}\): queda \(-\ln\bigl(3+e^{-x}\bigr)\) | \(-\ln 3\) |
| l) | \(0^{0}\) | \(\ln\): \(\cos x\cdot\dfrac{\ln(\operatorname{sen}x)}{\operatorname{sen}x}\to-\infty\) | \(0\) |
| m) | no es indeterminada | base \(\to 1\), exponente \(1/\ln x\to 0\): es \(1^{0}\) | \(1\) |
| n) | \(1^{\infty}\) | \(\ln\): \(\dfrac{\ln(\operatorname{sen}x/x)}{x^{2}}\) es \(0/0\); L'Hôpital dos veces (o \(\operatorname{sen}x/x=1-x^{2}/6+\cdots\)) | \(e^{-1/6}\) |
| ñ) | \(0^{0}\) donde está definida | si \(\operatorname{sen}x\lt 0\) la potencia real no existe; en \(x=k\pi\) vale \(0\) y en \(x=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\) tiende a \(1\) | no existe |
| o) | \(1^{\infty}\) | \(\ln\): \(h=1/x\), \(\dfrac{\ln\bigl((a^{h}+b^{h})/2\bigr)}{h}\) es la derivada en \(h=0\): \(\dfrac{\ln a+\ln b}{2}\) | \(\sqrt{ab}\) |