Laboratorio 6-7 · Logaritmos y exponenciales de base a, trigonométricas inversas e hiperbólicas

Los ejercicios

Ejercicio por ejercicio, con su parte

El enunciado fiel y, debajo, la pista, la respuesta para comparar y el botón a la parte de la clase interactiva donde vive la herramienta. Lo honesto: primero inténtalo en tu cuaderno.

1log₂(1 + x²): dominio, imagen y gráfica

Sea $f(x) = \log_{2}\!\left(1 + x^{2}\right)$. Obtener:

a) $\operatorname{Dom}(f)$. b) $\operatorname{Im}(f)$. c) Intersecciones con los ejes. d) Puntos críticos. e) Límites al infinito. f) Gráfica de $f$.

✍️ Para tu cuaderno — pendiente. La pista: $\log_2 u = \ln u/\ln 2$, así que $f'(x) = \dfrac{2x}{(1+x^{2})\ln 2}$ y $f''(x) = \dfrac{2(1-x^{2})}{(1+x^{2})^{2}\ln 2}$, y el plan de graficar con $f'$ y $f''$ hace el resto. Respuestas para comparar: dominio $\mathbb{R}$ ($1+x^2 \gt 0$ siempre); imagen $[0,\infty)$ ($1+x^{2}$ recorre $[1,\infty)$ y $\log_2$ es creciente con $\log_2 1 = 0$); la única intersección es $(0,0)$; un solo punto crítico, $x = 0$, y es mínimo ($f'$ pasa de negativa a positiva); $f \to +\infty$ cuando $x \to \pm\infty$, sin asíntota horizontal aunque crece despacio ($f(x) \approx 2\log_2|x|$). Gráfica: $f$ es par, cóncava hacia arriba solo en $(-1,1)$, con inflexiones en $(\pm 1, 1)$; pasa por $(\pm\sqrt{3}, 2)$.

▶ Clase 12 · Parte 13 — la tangente con log₄: log_a x = ln x/ln a ▶ Clase 8 · Parte 11 — el plan para graficar (f′ y f″) ▶ Clase 9 · Parte 16 — ln x = ∫₁ˣ du/u… y su gráfica, en cinco pasos 📖 Para profundizar → Thomas §7.3 · logaritmos con base a: definición, log_a x = ln x/ln a y su derivada p. 384

2Cinco simplificaciones

Simplificar:

$$\text{a)}\; \sec\!\left(\operatorname{arc\,sen}\!\left(\sqrt{x}\right)\right) \qquad \text{b)}\; \cosh(\ln x) \qquad \text{c)}\; \tanh(\ln x) \qquad \text{d)}\; \cosh(\operatorname{arcsenh}(x)),\; x \in \mathbb{R} \qquad \text{e)}\; \operatorname{sen}\!\left(\arccos\!\left(\tfrac{x}{5}\right)\right)$$

✍️ Para tu cuaderno — pendiente. En (a) y (e), el triángulo de la Clase 9: si $\theta = \operatorname{arc\,sen}\sqrt{x}$, el cateto opuesto es $\sqrt{x}$, la hipotenusa $1$ y el adyacente $\sqrt{1-x}$. En (b), (c) y (d), las hiperbólicas se definen con exponenciales — $\cosh u = \frac{e^{u}+e^{-u}}{2}$, $\operatorname{senh} u = \frac{e^{u}-e^{-u}}{2}$ — y $e^{\ln x} = x$ hace el resto; para (d) sirve también $\cosh^{2} - \operatorname{senh}^{2} = 1$ con $\cosh \gt 0$. Respuestas: (a) $\dfrac{1}{\sqrt{1-x}}$, $0 \le x \lt 1$; (b) $\dfrac{x^{2}+1}{2x}$, $x \gt 0$; (c) $\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}+1}$, $x \gt 0$; (d) $\sqrt{1+x^{2}}$; (e) $\dfrac{\sqrt{25-x^{2}}}{5}$, $|x| \le 5$.

▶ Clase 9 · Parte 5 — la derivada del arco seno: el triángulo ▶ Clase 9 · Parte 7 — arco coseno… y arco tangente ▶ Clase 10 · Parte 2 — la inversa, demostrada: e^{ln x} = x 📖 Para profundizar → Thomas §7.7 · senh y cosh definidas con eˣ y e⁻ˣ (las hiperbólicas se construyen aquí) p. 416 📖 Ejercicios 7.7, 5–10: reescribir en exponenciales y simplificar (2cosh(ln x) es el 5) p. 421

3Cuatro identidades hiperbólicas

Probar las identidades:

$$\text{a)}\; \cosh^{2}(x) = \frac{\cosh(2x) + 1}{2} \qquad \text{b)}\; \operatorname{senh}(3x) = 4\operatorname{senh}^{3}(x) + 3\operatorname{senh}(x)$$ $$\text{c)}\; \left[\cosh(x) + \operatorname{senh}(x)\right]^{n} = \cosh(nx) + \operatorname{senh}(nx) \qquad \text{d)}\; \operatorname{senh}(x) \pm \operatorname{senh}(y) = 2\operatorname{senh}\!\left(\frac{x \pm y}{2}\right)\cosh\!\left(\frac{x \mp y}{2}\right)$$

✍️ Para tu cuaderno — pendiente. Todo sale de las definiciones. (a) Eleva al cuadrado: $\cosh^{2}x = \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4} = \frac{\cosh 2x + 1}{2}$ — la gemela de $\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$ que la Clase 9 despejó de la identidad. (b) Desarrolla $\frac{(e^{x}-e^{-x})^{3}}{8}$ y agrupa, o usa $\operatorname{senh}(a+b) = \operatorname{senh}a\cosh b + \cosh a\operatorname{senh}b$ con $a = 2x$, $b = x$. (c) $\cosh x + \operatorname{senh} x = e^{x}$, así que el lado izquierdo es $e^{nx} = \cosh nx + \operatorname{senh} nx$: vale para cualquier $n$ real, no solo entero. (d) Escribe $x = \frac{x+y}{2} + \frac{x-y}{2}$, $y = \frac{x+y}{2} - \frac{x-y}{2}$ y aplica la fórmula de la suma; el signo de en medio cancela o duplica. Las cuatro, verificadas en sympy.

▶ Clase 9 · Parte 11 — lo que sale gratis: de cos(x − y) a las fórmulas de suma y ángulo doble ▶ Clase 9 · Parte 12 — ∫sen² y ∫cos²: despejar de la identidad ▶ Clase 10 · Parte 8 — demostración 4: (eˣ)ʳ = eʳˣ 📖 Para profundizar → Thomas §7.7 · Tabla 7.6, identidades hiperbólicas (cosh² x = (cosh 2x + 1)/2 está ahí) p. 417 📖 Ejercicio 11 de 7.7: senh(x + y) y cosh(x + y), y de ahí el ángulo doble p. 422

4π/2 + arcsen(1 − ln x): dominio, inversa y bosquejo

Considérese la función $f(x) = \dfrac{\pi}{2} + \operatorname{arc\,sen}(1 - \ln(x))$.

a) Obtener: 1) $\operatorname{Dom}(f)$. 2) $\operatorname{Im}(f)$. 3) Ceros de $f$. 4) Soluciones de $f(x) = -\pi$.

b) Probar que $f$ es inyectiva. c) Caracterizar la función inversa de $f$ (dominio, imagen, regla de correspondencia). d) Hacer un bosquejo de la gráfica de $f$.

✍️ Para tu cuaderno — pendiente. La pista: $\operatorname{arc\,sen}$ solo acepta $[-1,1]$ y devuelve $[-\pi/2, \pi/2]$, así que $-1 \le 1 - \ln x \le 1 \iff 0 \le \ln x \le 2$. Respuestas: dominio $[1, e^{2}]$; imagen $[0, \pi]$; único cero en $x = e^{2}$ (donde $1 - \ln x = -1$); $f(x) = -\pi$ no tiene solución porque $-\pi \notin [0,\pi]$. Inyectiva: $1 - \ln x$ decrece y $\operatorname{arc\,sen}$ crece, luego $f$ decrece estrictamente — o $f'(x) = -\dfrac{1}{x\sqrt{1-(1-\ln x)^{2}}} \lt 0$ en $(1, e^{2})$. Inversa: de $y - \frac{\pi}{2} = \operatorname{arc\,sen}(1 - \ln x)$ sale $\operatorname{sen}(y - \frac{\pi}{2}) = -\cos y = 1 - \ln x$, es decir $f^{-1}(y) = e^{\,1 + \cos y}$, con dominio $[0,\pi]$ e imagen $[1, e^{2}]$. Bosquejo: de $(1,\pi)$ a $(e^{2}, 0)$ pasando por $(e, \pi/2)$, con tangentes verticales en los extremos (ahí $\operatorname{arc\,sen}$ las tiene).

▶ Clase 9 · Parte 3 — ¿existe la inversa del seno? dominio y rango del arco seno ▶ Clase 9 · Parte 6 — la gráfica del arco seno: tangentes verticales en ±1 ▶ Clase 7 · Parte 7 — en la práctica: los cuatro pasos de la inversa ▶ Clase 7 · Parte 5 — recíprocas, inversas, biyectivas 📖 Para profundizar → Thomas §7.6 · definición de sen⁻¹ x: dominio [−1, 1], rango [−π/2, π/2] p. 405

5Una integral con x = cosh u

Usando la sustitución $x = \cosh(u)$, con $u \ge 0$, demuestra que para $t \in \mathbb{R}$,

$$\int_{1}^{\cosh(t)} x^{2}\sqrt{x^{2}-1}\,dx = \frac{1}{32}\operatorname{senh}(4t) - \frac{t}{8}.$$

✍️ Para tu cuaderno — pendiente. Es la gemela hiperbólica de $x = \sec\theta$ de la Clase 12: $dx = \operatorname{senh}u\,du$, $\sqrt{x^{2}-1} = \operatorname{senh} u$ (por $\cosh^2 - \operatorname{senh}^2 = 1$, y $u \ge 0$ quita el valor absoluto), y los límites viajan: $x = 1 \leftrightarrow u = 0$, $x = \cosh t \leftrightarrow u = t$. Queda $\int_{0}^{t}\cosh^{2}u\,\operatorname{senh}^{2}u\,du = \tfrac14\int_{0}^{t}\operatorname{senh}^{2}(2u)\,du = \tfrac18\int_{0}^{t}(\cosh 4u - 1)\,du = \dfrac{\operatorname{senh}4t}{32} - \dfrac{t}{8}$. Un detalle de rigor: con $u \ge 0$, el límite $u = t$ pide $t \ge 0$; si $t \lt 0$ el lado izquierdo solo depende de $|t|$ ($\cosh$ es par) y el derecho cambia de signo, así que la identidad es para $t \ge 0$. Verificada numéricamente en $t = 0.3,\,1,\,1.7$.

▶ Clase 12 · Parte 5 — solo a la potencia 1: la tabla de sustituciones trigonométricas ▶ Clase 11 · Parte 2 — la sustitución u = a − x: los límites viajan con ella ▶ Clase 9 · Parte 12 — ∫sen² y ∫cos²: despejar de la identidad 📖 Para profundizar → Thomas §7.7 · Ejemplo 1(c): ∫₀¹ senh² x dx con senh² x = (cosh 2x − 1)/2 p. 418

6Derivar sin despejar: x = senh(y√(1 + x²))

Sea $x = \operatorname{senh}\!\left(y\sqrt{1+x^{2}}\right)$. Muestra que $(1+x^{2})\dfrac{dy}{dx} + xy = 1$.

✍️ Para tu cuaderno — pendiente. Aplica $\operatorname{arcsenh}$ a los dos lados: $y\sqrt{1+x^{2}} = \operatorname{arcsenh} x$, y deriva en $x$. La derivada de $\operatorname{arcsenh}$ sale de la derivada de la inversa: $\dfrac{1}{\cosh(\operatorname{arcsenh} x)} = \dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$ (es el inciso 2d). Queda $y'\sqrt{1+x^{2}} + \dfrac{xy}{\sqrt{1+x^{2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$; multiplica por $\sqrt{1+x^{2}}$ y listo. Comprobado en sympy con $y = \operatorname{arcsenh} x/\sqrt{1+x^{2}}$.

▶ Clase 7 · Parte 9 — la derivada de la inversa ▶ Clase 9 · Parte 5 — la derivada del arco seno: 1/f′(f⁻¹) y el triángulo 📖 Para profundizar → Thomas §7.7 · Tabla 7.10 (senh⁻¹)′ = 1/√(1 + u²) y Ejemplo 2: (cosh⁻¹)′ con el Teorema 1 p. 420

7arccoth con logaritmo… y ∫dx/(1 − x²)

Si $f(x) = \coth(x)$, entonces $f^{-1}(x) = \operatorname{arccoth}(x)$. Prueba que

$$f^{-1}(x) = \frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{x+1}{x-1}\right), \;\text{para } |x| \gt 1 \qquad\text{y}\qquad \int \frac{dx}{1-x^{2}} = \operatorname{arccoth}(x) + C,\; C \in \mathbb{R}.$$

✍️ Para tu cuaderno — pendiente. Escribe $x = \coth y = \dfrac{e^{y}+e^{-y}}{e^{y}-e^{-y}}$, multiplica arriba y abajo por $e^{y}$: $x = \dfrac{e^{2y}+1}{e^{2y}-1}$, despeja $e^{2y} = \dfrac{x+1}{x-1}$ y pasa al logaritmo (Clase 10). Como $e^{2y} \gt 0$, hace falta $\frac{x+1}{x-1} \gt 0$, es decir $|x| \gt 1$: $\coth$ nunca cae en $[-1,1]$. Para la integral, deriva: $\tfrac12\left[\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1}\right] = \dfrac{1}{1-x^{2}}$. El otro caso: en $|x| \lt 1$ la misma integral da $\operatorname{arctanh} x = \tfrac12\ln\frac{1+x}{1-x}$; en la Clase 6 esa integral apareció como $\int du/(u^{2}-1)$, con un asterisco.

▶ Clase 10 · Parte 2 — la inversa, demostrada: pasar de eˣ a ln ▶ Clase 7 · Parte 7 — en la práctica: los cuatro pasos (despejar x) ▶ Clase 6 · Parte 5 — inciso (g): dos caminos, y el asterisco de ∫du/(u² − 1) 📖 Para profundizar → Thomas §7.7 · Tabla 7.11: ∫du/(a² − u²) es tanh⁻¹ si |u| < a y coth⁻¹ si |u| > a p. 421 📖 Las inversas hiperbólicas como logaritmos: senh⁻¹, cosh⁻¹, tanh⁻¹, coth⁻¹ p. 422

8I(r) → 4

Sea $\displaystyle I(r) = \int_{-r}^{r} [f(u)]^{2}\,du$, donde $f(u) = \operatorname{sech}\!\left(\dfrac{u}{2}\right)$. Muestra que $\displaystyle\lim_{r \to \infty} I(r) = 4$.

✍️ Para tu cuaderno — pendiente. La gemela de $(\tan)' = \sec^{2}$: $(\tanh v)' = \operatorname{sech}^{2} v$, así que $\int \operatorname{sech}^{2}(u/2)\,du = 2\tanh(u/2) + C$ y, como $\tanh$ es impar, $I(r) = 2\tanh(r/2) - 2\tanh(-r/2) = 4\tanh(r/2)$. Y $\tanh(r/2) = \dfrac{e^{r}-1}{e^{r}+1} \to 1$ (divide entre $e^{r}$). Con $r = 20$ ya da $3.99999998$.

▶ Clase 8 · Parte 22 — las derivadas de la tangente (y de la secante): (tan)′ = sec² ▶ Clase 10 · Parte 3 — la gráfica de y = eˣ: qué pasa cuando x → ±∞ 📖 Para profundizar → Thomas §7.7 · Tabla 7.8: ∫sech² u du = tanh u + C p. 418 📖 Tabla 7.5: la gráfica de tanh x, con sus asíntotas y = ±1 p. 417

9∫√(x² − 1) con x = cosh u

Muestra que para toda $t \gt 0$, $\displaystyle\int_{1}^{\cosh(t)} \sqrt{x^{2}-1}\,dx = \int_{0}^{t} \operatorname{senh}^{2}(u)\,du$.

Además, notando que $\cosh(2x) = \cosh^{2}(x) + \operatorname{senh}^{2}(x) = 2\operatorname{senh}^{2}(x) + 1$, muestra que

$$\int_{1}^{\cosh(t)} \sqrt{x^{2}-1}\,dx = \frac{\operatorname{senh}(2t)}{4} - \frac{t}{2}.$$

✍️ Para tu cuaderno — pendiente. La misma sustitución del ejercicio 5, sin el $x^{2}$: $x = \cosh u$, $dx = \operatorname{senh} u\,du$, $\sqrt{x^{2}-1} = \operatorname{senh} u$ y los límites $0$ y $t$. Luego despeja $\operatorname{senh}^{2}u = \dfrac{\cosh 2u - 1}{2}$ e integra: $\left[\dfrac{\operatorname{senh}2u}{4} - \dfrac{u}{2}\right]_{0}^{t}$. Verificado numéricamente en $t = 0.4,\,1,\,2$.

▶ Clase 9 · Parte 12 — ∫sen² y ∫cos²: despejar de la identidad ▶ Clase 13 · Parte 3 — lo que ya sabemos integrar… y el ángulo doble, deducido 📖 Para profundizar → Thomas §7.7 · Ejemplo 1(c): ∫₀¹ senh² x dx p. 418

10La tangente en x = 1 a una integral con log₂

Halla la ecuación de la recta tangente a la curva $y = f(x)$ en $x = 1$, si

$$f(x) = \int_{3}^{1+2^{x}} \frac{\log_{2}(t-1)}{t-1}\,dt, \qquad x \in \mathbb{R}.$$

✍️ Para tu cuaderno — pendiente, pero es el gemelo del problema que la Clase 12 hizo con $\log_4$ y $1 + 4^{x}$. TFC más regla de la cadena: $f'(x) = \dfrac{\log_2(2^{x})}{2^{x}}\cdot 2^{x}\ln 2 = x\ln 2$; en $x = 1$ los límites coinciden ($1 + 2 = 3$), así que $f(1) = 0$. La tangente: $y = (\ln 2)(x - 1)$. De regalo: con $s = \log_2(t-1)$ la integral se calcula y $f(x) = \dfrac{\ln 2}{2}\left(x^{2}-1\right)$, una parábola.

▶ Clase 12 · Parte 13 — la tangente a f(x) = ∫₅^{1+4ˣ} log₄(t−1)/(t−1) dt ▶ Clase 11 · Parte 4 — Problema 7: ¿por qué es derivable… y cuánto vale h′? (TFC con límite compuesto) ▶ Clase 5 · Parte 5 — el problema 5: de la recta a la tangente 📖 Para profundizar → Thomas §7.3 · log_a x = ln x/ln a y d/dx log_a u p. 384 📖 Thomas §5.4 · TFC con límite variable p. 276

Lagartijas extras

Seis derivadas y nueve integrales

El PDF cierra con ejercicios cortos de la misma familia: $\log_a$ que se convierte en $\ln$, $a^{x}$ que se integra con $\ln a$, y las hiperbólicas con sus identidades.

L1Derivar

$$\text{a)}\; f(x) = \bigl(\log_{3}(x)\bigr)\bigl(\log_{2}(x)\bigr) \qquad \text{b)}\; f(x) = \cosh\!\left(\sqrt{1-x^{2}}\right) \qquad \text{c)}\; h(x) = \cosh\!\left(\tan\!\left(e^{2x}\right)\right)$$ $$\text{d)}\; f(x) = \frac{1}{\log_{2}(\log_{2} x)} \qquad \text{e)}\; y = \log_{3}\!\left(\frac{3^{x}}{1-3^{x}}\right) \qquad \text{f)}\; f(x) = \cosh^{2}\!\left(\sqrt{2-e^{x}}\right)$$

✍️ Para tu cuaderno — pendientes. Convierte cada $\log_a$ en $\ln/\ln a$, usa $(\cosh u)' = \operatorname{senh}u \cdot u'$, y en (e) separa antes de derivar: $\log_3(3^{x}) - \log_3(1-3^{x}) = x - \log_3(1-3^{x})$. Respuestas: (a) $\dfrac{2\ln x}{x\,\ln 2\,\ln 3}$; (b) $-\dfrac{x\operatorname{senh}\!\left(\sqrt{1-x^{2}}\right)}{\sqrt{1-x^{2}}}$; (c) $2e^{2x}\sec^{2}\!\left(e^{2x}\right)\operatorname{senh}\!\left(\tan e^{2x}\right)$; (d) $-\dfrac{1}{x\,\ln 2\,\ln x\,\bigl[\log_2(\log_2 x)\bigr]^{2}}$, con $x \gt 1$, $x \ne 2$; (e) $\dfrac{1}{1-3^{x}}$, con $x \lt 0$; (f) $-\dfrac{e^{x}\operatorname{senh}\!\left(2\sqrt{2-e^{x}}\right)}{2\sqrt{2-e^{x}}}$, con $x \lt \ln 2$ (usando $2\operatorname{senh}w\cosh w = \operatorname{senh}2w$). Las seis, verificadas en sympy.

▶ Clase 12 · Parte 13 — log_a x = ln x/ln a y aˣ = e^{x ln a} ▶ Clase 10 · Parte 10 — y = aˣ: definición y derivada ▶ Clase 11 · Parte 14 — 2(b): propiedades antes de derivar 📖 Para profundizar → Thomas §7.3 · d/dx log_a u = (1/ln a)(1/u) du/dx p. 384 📖 Thomas §7.7 · Tabla 7.7: derivadas de las hiperbólicas p. 417

L2Calcular las siguientes integrales

$$\text{a)}\;\int_{2}^{3} \frac{2\log_{2}(x-1)}{x-1}\,dx \qquad \text{b)}\;\int_{0}^{2} \left(3^{x} - 2^{x}\right)dx \qquad \text{c)}\;\int e^{t}\operatorname{senh}(t)\,dt$$ $$\text{d)}\;\int 2^{x}\cosh\!\left(2^{x}\right)dx \qquad \text{e)}\;\int_{1/10}^{10} \frac{\log_{10}(x)}{x}\,dx \qquad \text{f)}\;\int \frac{3^{2x}}{\sqrt{1-3^{x}}}\,dx$$ $$\text{g)}\;\int_{0}^{\ln 10} 4\operatorname{senh}^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right)dx \qquad \text{h)}\;\int_{-\ln 3}^{\ln 3} \sqrt{1+\cosh(x)}\,dx \qquad \text{i)}\;\int \frac{x - \operatorname{arcsenh}(2x)}{\sqrt{1+4x^{2}}}\,dx$$

✍️ Para tu cuaderno — pendientes. Pistas: (a) $\log_2(x-1) = \ln(x-1)/\ln 2$ y $u = \ln(x-1)$; (b) $\int a^{x}dx = a^{x}/\ln a$; (c) $e^{t}\operatorname{senh}t = \frac{e^{2t}-1}{2}$; (d) $u = 2^{x}$, $du = 2^{x}\ln 2\,dx$; (e) $u = \ln x$, o nota la simetría $\log_{10}(1/x) = -\log_{10}x$; (f) $u = 3^{x}$ y luego $v = 1-u$; (g) y (h) se despejan de las identidades: $\operatorname{senh}^{2}(x/2) = \frac{\cosh x - 1}{2}$ y $1 + \cosh x = 2\cosh^{2}(x/2)$; (i) separa: la primera pieza es $\tfrac14\sqrt{1+4x^{2}}$ y en la segunda $w = \operatorname{arcsenh}2x$, $dw = \frac{2\,dx}{\sqrt{1+4x^{2}}}$. Respuestas: (a) $\ln 2$; (b) $\dfrac{8}{\ln 3} - \dfrac{3}{\ln 2} \approx 2.954$; (c) $\dfrac{e^{2t}}{4} - \dfrac{t}{2} + C$; (d) $\dfrac{\operatorname{senh}(2^{x})}{\ln 2} + C$; (e) $0$; (f) $-\dfrac{2}{3\ln 3}\sqrt{1-3^{x}}\,\bigl(3^{x}+2\bigr) + C$; (g) $2\operatorname{senh}(\ln 10) - 2\ln 10 = \dfrac{99}{10} - 2\ln 10 \approx 5.295$; (h) $4\sqrt{2}\,\operatorname{senh}\!\left(\tfrac{\ln 3}{2}\right) = \dfrac{4\sqrt{6}}{3} \approx 3.266$; (i) $\tfrac14\sqrt{1+4x^{2}} - \tfrac14\operatorname{arcsenh}^{2}(2x) + C$. Las nueve, verificadas en sympy.

▶ Clase 13 · Parte 5 — ∫aˣ = aˣ/ln a… y una integral que la sustitución no alcanza ▶ Clase 12 · Parte 13 — log_a x = ln x/ln a ▶ Clase 6 · Parte 1 — sustituir: la cadena al revés ▶ Clase 9 · Parte 12 — ∫sen² y ∫cos²: despejar de la identidad ▶ Clase 9 · Parte 5 — la derivada del arco seno (la gemela de (i): ∫arcsen x/√(1 − x²)) 📖 Para profundizar → Thomas §7.3 · Ejemplo 6(b): ∫log₂x/x dx, la gemela de (a) p. 385 📖 Thomas §7.7 · Tabla 7.8 de integrales y Ejemplo 1(d): ∫4eˣ senh x dx, la gemela de (c) p. 418 📖 Thomas §7.7 · Tabla 7.10: (senh⁻¹ u)′ = u′/√(1 + u²), para (i) p. 420

El Laboratorio 8 ya está aquí ▸

Sigue con el Laboratorio 8: formas indeterminadas. Las herramientas de este laboratorio viven en la Clase 9 (inversas trigonométricas y el logaritmo), la Clase 10 (la exponencial y $a^{x}$) y la Clase 12 ($\log_a x = \ln x/\ln a$ en acción). ¿Vienes del principio? El Laboratorio 5 está antes.